PAT 甲级 1049 Counting Ones (30 分)（找规律,较难,想到了一点但没有深入考虑嫌麻烦）***

1049 Counting Ones (30 分)

 

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives the positive N (≤).

Output Specification:

For each test case, print the number of 1's in one line.

Sample Input:

12

Sample Output:

5

题意：

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有“1”的个数。

题解：

一个最简单的方法来计算f（N），那就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，自然就得到了从1到N所有“1”的个数的和。

但是这个算法的致命问题是效率，它的时间复杂度是

O（N）×计算一个整数数字里面“1”的个数的复杂度 = O（N * log₂ N）

如果给定的N比较大，则需要很长的运算时间才能得到计算结果。比如在笔者的机器上，如果给定N=100 000 000，则算出f（N）大概需要40秒的时间，计算时间会随着N的增大而线性增长。

 

仔细分析这个问题，给定了N，似乎就可以通过分析“小于N的数在每一位上可能出现1的次数”之和来得到这个结果。让我们来分析一下对于一个特定的N，如何得到一个规律来分析在每一位上所有出现1的可能性，并求和得到最后的f（N）。

先从一些简单的情况开始观察，看看能不能总结出什么规律。

 

先看1位数的情况。

如果N = 3，那么从1到3的所有数字：1、2、3，只有个位数字上可能出现1，而且只出现1次，进一步可以发现如果N是个位数，如果N>=1，那么f（N）都等于1，如果N=0，则f（N）为0。

 

再看2位数的情况。

如果N=13，那么从1到13的所有数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有1，我们可以将它们分开来考虑，个位出现1的次数有两次：1和11，十位出现1的次数有4次：10、11、12和13，所以f（N）=2+4=6。要注意的是11这个数字在十位和个位都出现了1，但是11恰好在个位为1和十位为1中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑N=23的情况，它和N=13有点不同，十位出现1的次数为10次，从10到19，个位出现1的次数为1、11和21，所以f（N）=3+10=13。通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果N的个位数大于等于1，则个位出现1的次数为十位数的数字加1；如果N的个位数为0，则个位出现1的次数等于十位数的数字。而十位数上出现1的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1；如果十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

f(13) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 2 + 4 = 6；

f(23) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 3 + 10 = 13；

f(33) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 4 + 10 = 14；

…

f(93) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 10 + 10 = 20；

 

接着分析3位数。

如果N = 123：

个位出现1的个数为13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121

十位出现1的个数为20：10～19, 110～119

百位出现1的个数为24：100～123

f（23）= 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 + 百位出现1的次数 = 13 + 20 + 24 = 57；

同理我们可以再分析4位数、5位数。读者朋友们可以写一写，总结一下各种情况有什么不同。

根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从N得到f（N）的计算方法：

假设N=abcde，这里a、b、c、d、e分别是十进制数N的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现1的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位（更高位）以上的数字。

如果百位上的数字为0，则可以知道，百位上可能出现1的次数由更高位决定，比如12 013，则可以知道百位出现1的情况可能是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有1 200个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）×当前位数（100）。

如果百位上的数字为1，则可以知道，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于12 113，受更高位影响，百位出现1的情况是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）。但是它还受低位影响，百位出现1的情况是12 100～12 113，一共114个，等于低位数字（113）+1。

 

如果百位上数字大于1（即为2~9），则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如12 213，则百位出现1的可能性为：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有1 300个，并且等于更高位数字+1（12+1）×当前位数（100）。

 

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
int num=0;
int main(){
    cin>>n;
    int factor = 1;
    int higher,lower,cur;//高位,低位,当前位
    while(n/factor!=0){//依次取个、十、百、千……
        higher = n/(factor*10);
        cur=(n/factor)%10;
        lower=n%factor;
        if(cur==0){
            num+=higher*factor;
        }else if(cur==1){
            num+=higher*factor+lower+1;
        }else{
            num+=higher*factor+factor;
        }
        factor = factor * 10;
    }
    cout<<num;
    return 0;
}