欧几里得算法
介绍
概念
- 欧几里得算法又称辗转相除法,是指用于计算两个非负整数a,b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。
公式
- 计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
GCD、LCM
GCD(最大公约数)
int find_gcd(int a, int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LCM(最小公倍数)
int find_lcm(int a, int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}
扩展欧几里得算法
求方程ax+by=gcd(a,b)特解
- 当方程满足ax+by=gcd(a,b)时,可用扩展欧几里得算法求特解(x0,y0)
void extend_fun(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return;
}
extend_fun(b,a%b,x,y);
int temp = x;
x = y;
y = temp - (a/b)*y;
}
求任意方程ax+by=n的一个整数解
- 判断方程是否有整数解,有解的条件是n可以被gcd(a,b)整除
- 求处ax+by=gcd(a,b)的一个特解(x0,y0)
- 在ax0+by0=gcd(a,b)两边同时乘n/gcd(a,b)
- 则得到ax+by=n的一个整数解如下

void extend_fun2(int a, int b, int n, int&x, int &y)
{
int gcd_num = find_gcd(a,b);
if(n%gcd_num!=0) return;
int s=0,t=0;
extend_fun(a,b,s,t);
x = s*n/gcd_num;
y = t*n/gcd_num;
}
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