麻省理工学院公开课-第三讲：分治法

http://blog.csdn.net/ai552368625/article/details/38108459

http://www.cnblogs.com/banli/archive/2013/06/01/3112583.html

主定理：

分治思想

1. Devide：把问题分为若干子问题.
2. Conquer:递归地解决子问题.
3. Combine:合并子问题的解.

分治思想的应用：

归并排序：

1. 将长度为n的待排序数组分为两个子数组.
2. 递归地对子数组进行归并排序.
3. 合并排序好的子序列.

　　T(n) = 2T(n) + O(n) = Θ(lgn).

　　

 

　　

 

 

二分查找：

1. 找到有序数组的中间元素.
2. 递归地在满足条件的一个子数组中查找.
3. nothing

　　

 

数的乘幂(aⁿ):

　　基本实现方法：n个a相乘n-1次.  T(n)=Θ(n).

　　分治法：

　　

 

斐波那契数列：

　　

• 　　基本方法-递归法：

　　欲计算 F(n),则要计算 F(n-1),F(n-2),etc.时间复杂度为指数级 T(n) = Ω(φⁿ)，φ=(黄金分割点)

• 　　Bottom-Up法：

　　按序计算 F(0),F(1),F(2),...,F(n).每个F(n)只需计算一次，下一次可以使用上一次的计算结果.改进后 T(n)=Θ(n).

 

• 　　朴素平方递归法：

　　该方法用到斐波那契数列的一个性质，即，

 

　　，φ=(黄金分割点)，并取至最接近的整数，那就是第n位斐波那契数。 T(n) = Θ(lgn).

 

　　该算法理论上可行，实际上这种方法在现有条件下不能实现，在实际中的机器上，由于浮点运算的精度会受到四舍五入的影响，最终得不到正确的答案.

 

• 　 平方递归法：

　　该方法用到斐波那契数列的另一个性质，即

　　

矩阵乘积（方阵）：

• 矩阵分块，实现分治：

　　T(n)=Θ(n³)

• 斯特拉森算法

　　T(n)=Θ(n^lg7).