矩阵学习-基本矩阵分类
矩阵分解
基本矩阵分类
- 正交矩阵 ： \(AA^T=A^TA=I\)
- 正定矩阵 ： 对于任何\(0\not=x\in R^n\), \(A^TxA>0\), \(A\)为正定矩阵
- 对称矩阵 ： \(A=A^T\)
- 对称正定矩阵 ：若满足\(A=A^T\)，且对于任何\(0\not=x\in R^n\), \(A^TxA>0\)， \(A\)为对称正定矩阵
- Hermite矩阵 : 若满足\(A=A^T\)，且对于任何\(0\not=x\in C^n\), \(A^TxA>0\)， \(A\)为Hermite矩阵
范数定义
向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度，或者向量到零点的距离，或者相应的两个点之间的距离。
向量\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的范数是一个函数\(||x||\),满足如下几个条件
- \(||x||>=0\) 非负性
- \(||cx||=|c||x|||\) 齐次性
- \(||x+y||<=||x||+||y||\) 三角不等性
\[||x||_k=\left( \sum_{i=1}^{n}|x_i|^k\right)^{1/k}
\]
常用范数
\(L1\)范数：\(||x||_1=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^1\right)^{1/1}=\sum_{i=1}^{n}|x_i|\) 即各项的绝对数之和
\(L2\)范数：\(||x||_2=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}\) 即各个元素平方和的开方
\(L\infty\)范数: \(||x||_{\infty}=\lim_{k\to\infty} \left( \sum_{i=1}^{n}|x_i|^k\right)^{1/k}=max(|x_i|)\) 为各个元素中绝对值最大值
