稀疏表达（稀疏编码）的一些理解

     我们已经进入的大数据时代，正如http://tech.sina.com.cn/it/2012-06-01/00067200478.shtml一文中所讲述的，大数据正在悄然改变我们的生活，随之而来的一个问题是我们将如何有效地处理这些大数据，稀疏表达是一种应对这个问题当前比较流行的方法。
      稀疏表达将原始信号表达为字典元素的一个线性组合，如 x = D*a中，我们用x表示原始信号(列向量)，D为我们得到的字典(dictionary)，a即为在字典D上原始信号x的表达，通常我们希望a是稀疏的，即其中只有较少的非零项，这样的一个突出优点是计算速度更快，因为matlab只对非零元素进行操作。那么我们如何得到字典D呢？ 针对计算机视觉应用领域，之前比较流行的方法DCT,wavelets,curvelets,contourlets,wedgelets,bandlets,steerable wavelets等，这些方法得到的字典都是预先设定好的，手动设定一个好的字典是非常困难的，并且其复杂度和几何特性在表征不同信号时变化很大，如何自适应地得到字典呢？PCA方法就是其中的一个代表。PCA方法通过学习的方式，计算正交的主方向，通过将原始信号表示在以主方向为基准的空间上，使问题得到简化。但是PCA对字典中”基“(basis)要求太苛刻，它们必须是正交的，虽然此限制可以简化问题，但同时限制了解决问题的灵活性——稀疏表达的思想应运而生。   

      事情可以追溯到1993年，Stephane Mallat和Zhifeng Zhang提出了字典的概念，改进了传统的、缺乏灵活性的小波变换(wavelet transform)的概念，同时贪婪追踪(greedy pursuit)技术被引入到字典构建中来。1995年，统计学的大牛Scott Shaobing、David Donoho和Michael Saunders提出了另外一种追踪技术，其中使用到了L1范数，将字典学习任务转化成了凸规划(convex programming)。2001年，Donoho和Huo提出了在稀疏表达任务中至关重要的一个问题：如何保证追踪技术的成功？在什么条件下？并提出了一些具有启发性的见解。之后的一段时间里，稀疏表达思想如雨后春笋，迅速扩散到涉及到数据处理的各个领域，其中workshops, sessions, conferences, papers等起到了至关重要的作用。由于此领域处在信号处理(signal processing)和应用数学(applied mathematics)的交叉地带，活跃在此领域的是对近似理论(approximation theory)情有独钟的数学家们。2006年，Emmanuel Candes、Justin Romberg、Terence Tao和David Donoho等提出和完善了压缩感知(compressed sensing)的概念，作为稀疏表达的一个分支，压缩感知向传统的奈奎斯特-香农(Nyquist-Shannon)抽样定理发起了挑战，其可以极大地降低抽样频率。由上面的发展历程可以看出，稀疏表达作为一个年轻领域，其中有大量的“宝藏”等待我们去发掘。