【模板】图论：图的连通性相关

posted on 2022-07-07 20:52:49 | under 模板 | source

目录

有向图缩点 / 强连通分量（SCC）

strongly connected component

现有一有向图 \(G=(V,E)\)，称一个点集 \(E'\in E\) 为强连通分量，当且仅当 \(E'\) 的任意两点可以互相到达（围成一个环），求出所有极大强连通分量即 \(\tt SCC\)。

使用 Tarjan，我们将这个有向图看成一棵树，dfs 遍历，用 \(dfn_u\) 记录访问点 \(u\) 的时间戳。由于它是一个图，所以会有一些边返回到其它访问过的点（一定是祖先，这是 dfs 生成树的性质），称作返祖边。

记录 \(low_u\)，它表示点 \(u\) 通过 dfs 树和最多一次返祖边能到达的最小的 \(dfn\)。如果 \(low_u=dfn_u\)，我们断言点 \(u\) 的整一棵子树是一个 \(SCC\)，因为从点 \(u\) 出发能回到点 \(u\)，就是一个环。但是，\(low_u\) 不能经过已经缩完点的点，这样两个 \(SCC\) 就套在一起了，可以合成一个大的 \(SCC\) 了。

点击查看代码 
int dfn[1010],low[1010],stk[1010],col[1010],cnt,top,tot;
void reset(){
	cnt=0;
	tot=0;
	memset(dfn,0,sizeof dfn);
	memset(col,0,sizeof col);
}
void tarjan(int u){
    low[stk[++top]=u]=dfn[u]=++cnt;
    for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
        int v=g[i].v;
        if(!dfn[v]) tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
        else if(!col[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(low[u]==dfn[u]){
        col[u]=++tot;
        while(stk[top]!=u) col[stk[top--]]=tot;
        top--;
//do col[stk[top]]=css; while(stk[top--]!=u);
    }
}

边双连通分量（ECC）

2-edge-connected component

边双的定义：两个点 \(u, v\) 在无向图上连通，若删去图中的任意一条边，都不能使他们不连通，则说 \(u, v\) 边双连通。边双联通具有传递性。

在缩点的基础上，强制不让它走到父亲边即可。

\(dfn_u=low_u\)。

我不知道为什么正经的做法都说是 \(low_v>dfn_u\)。但是这个代码真的能过。

点击查看代码 
graph<500010,2000010> g;
int dfn[500010],low[500010],stk[500010],cnt,top,col[500010],dcc,siz[500010];
bool vis[2000010<<1];
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[stk[++top]=u]=++cnt;
	for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
		if(vis[i]||vis[i^1]) continue;
		int v=g[i].v;
		if(!dfn[v]) vis[i]=vis[i^1]=1,tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		col[u]=++dcc;
		do col[stk[top]]=dcc; while(stk[top--]!=u);
	}
}

点双连通分量（BCC）

biconnected component

点双的定义：两个点 \(u, v\) 在无向图上连通，若删去图中的任意一个不是 \(u, v\) 的点，都不能使他们不连通，则说 \(u, v\) 点双连通。点双联通不一定有传递性。

无向图割点的条件为：\(low_v\geq dfn_u\)，这样 \(v\) 这个儿子就走不到 \(u\)，割掉 \(u\)，\(v\) 就过不来了。

点双和割点一样的。但是为了求出点双连通分量需要开一个栈，还要注意一个点可能在多个点双内。

\(low_v\geq dfn_u\)。

点击查看代码 
graph<500010,2000010> g,t;
int dfn[500010],low[500010],stk[500010],cnt,top;
int dcc,cut[500010],siz[500010];
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[stk[++top]=u]=++cnt,cut[u]=1;
	for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
		int v=g[i].v;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]){
				cut[u]++,dcc++;
				do t.add(dcc,stk[top]); while(stk[top--]!=v);
				t.add(dcc,u); 
			}
		}else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(!g.head[u]) t.add(++dcc,u);
}

补充：无向图割点

与点双联通分量没有区别。

点击查看代码 
int dfn[500010],low[500010],stk[500010],cnt,top,cut[500010];
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[stk[++top]=u]=++cnt,cut[u]=1;
	for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
		int v=g[i].v;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]) cut[u]++;
		}else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i),cut[i]--;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=cut[i]>=2;
//cut[i] 表示割掉 i 点会剩下多少个连通块，割点就是 cut[i]>=2

补充：instack 问题

scc 中访问到 dfs 过的点时必须需要判断是否在栈内（不在栈中时更新 low）。点双、边双好像没有这个要求，不过判了更好。

补充：无向图 dfs 树上没有横叉边

你想象一下就知道了。

仙人掌与圆方树

定义

我们遇到了一类毒瘤：仙人掌。仙人掌的每条边 / 点只会在一个环上，这就是边 / 点仙人掌。值得注意的是 \(m\leq 2n\)。

我们还是去找环，或者叫点双连通分量。在每个环中间建一个方点，连向环上其他的点（原图的点称作圆点），然后将这个环删了。这就是圆方树。

解释为什么是点双。这里是一个定义问题，两个边双可以合成一个大边双。如果是边仙人掌则一定是说点双，如果是点仙人掌（点仙人掌都是边仙人掌）则说是点双边双都可以。

注意：为了方便处理，一般一条边也算作一个点双，要在中间插一个方点。

结论：只有圆方边的圆方树上，非叶子节点一定是原图的割点。

来自洛谷题解区的图：source

过程

找环

你还是 tarjan，求出 \(dfn,low\)，最后遍历 \(u\) 的所有儿子 \(v\)，如果满足：\(v\) 的上一个节点不是 \(u\)，\(dfn_v>dfn_u\)，就说明这是一个从 \(u\) 出发的环的末尾。我们从这里开始，跳这些点（在搜索树上的）前驱，直到 \(u\)，就能把环找出来。

边权

假设是仙人掌上最短路。对于圆圆边，保留原边权（但其实我们并不推荐写圆圆边）。对于方方边，好像没有这样的边。是的。

对于圆方边，假如这个环离根最近的节点（或者说进入环的节点）是 \(u\)，方点是 \(k\)，那么 \((k,u)\) 的边权是 \(0\)（或者叫加法单位元？），\((k,v)\) 的边权，就是 \(v\to u\) 在环上的距离。这样的正确性在于，跳到方点相当于跳到 \(u\) 上。

如何求环上两点间最短距离？做出前缀和 \(sum_i\)，那么两点之间最短路是

\[\min(sum_u-sum_v,sum_k-(sum_u-sum_v)) \]

自己 swap 一下 \(u, v\) 的顺序。

答案

圆方树是树，可以求 LCA，记 \(u,v\) 的 LCA 为 \(k\)。

  • 若 \(k\) 是圆点，直接树上前缀和。
  • 若 \(k\) 是方点，假设它们跳的前一步（在环上的）的点是 \(u',v'\)，答案是 \(u\to u'\) 加上 \(v\to v'\) 加上 \(u'\to v'\) 的最短路。

代码

洛谷 P5236 【模板】静态仙人掌

（注意这个写的是有圆圆边的广义圆方树）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
template <int N, int M, class T = int>
struct graph {
  int head[N + 10], nxt[M * 2 + 10], cnt, tot;
  struct edge {
    int u, v;
    T w;
    edge(int u = 0, int v = 0, T w = 0) : u(u), v(v), w(w) {}
  } e[M * 2 + 10];
  edge& operator[](int i) { return e[i]; }
  graph() { memset(head, cnt = 0, sizeof head); }
  void add(int u, int v, T w = 0) {
    e[++cnt] = edge(u, v, w), nxt[cnt] = head[u], head[u] = cnt;
  }
  void link(int u, int v, T w = 0) { add(u, v, w), add(v, u, w); }
};
int n, m, sum[100010], fa[18][100010], up[100010], dep[100010];
graph<100010, 200010> g, t;
int getdist_cycle(int u, int v, int k) {
  if (sum[u] < sum[v]) swap(u, v);
  return min(sum[u] - sum[v], sum[k] - sum[u] + sum[v]);
}
void make_cycle(int u, int v, int val) {
  sum[v] = val;
  for (int i = v; i != u; i = fa[0][i]) sum[fa[0][i]] = sum[i] + up[i];
  sum[++t.tot] = sum[u], sum[u] = 0;
  t.link(t.tot, u, 0);
  for (int i = v; i != u; i = fa[0][i])
    t.link(t.tot, i, getdist_cycle(i, u, t.tot));
}
int dfn[100010], low[100010], cnt;
void tarjan(int u, int f = 0) {
  dfn[u] = low[u] = ++cnt, fa[0][u] = f;
  for (int i = g.head[u]; i; i = g.nxt[i]) {
    int v = g[i].v;
    if (!dfn[v])
      up[v] = g[i].w, tarjan(v, u), low[u] = min(low[u], low[v]);
    else if (v != f)
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    if (low[v] > dfn[u]) t.link(u, v, g[i].w);
  }
  for (int i = g.head[u]; i; i = g.nxt[i]) {
    int v = g[i].v;
    if (fa[0][v] != u && dfn[v] > dfn[u]) make_cycle(u, v, g[i].w);
  }
}
void dfs(int u, int f = 0) {
  dep[u] = dep[fa[0][u] = f] + 1;
  for (int i = t.head[u]; i; i = t.nxt[i])
    if (t[i].v != f) up[t[i].v] = up[u] + t[i].w, dfs(t[i].v, u);
}
int jump(int u, int k) {
  for (int j = 17; j >= 0; j--)
    if (k >> j & 1) u = fa[j][u];
  return u;
}
int lca(int u, int v) {
  dep[u] < dep[v] ? v = jump(v, dep[v] - dep[u]) : u = jump(u, dep[u] - dep[v]);
  for (int j = 17; j >= 0; j--)
    if (fa[j][u] != fa[j][v]) u = fa[j][u], v = fa[j][v];
  return u == v ? u : fa[0][u];
}
int main() {
  scanf("%d%d%*d", &n, &m);
  for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++)
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), g.link(u, v, w);
  t.tot = n, tarjan(1), dfs(1);
  debug("graph t:\n");
  for (int i = 1; i <= t.cnt; i += 2)
    debug("(%d, %d) = %d\n", t[i].u, t[i].v, t[i].w);
  for (int i = 1; i <= t.tot; i++) debug("sum[%d] = %d\n", i, sum[i]);
  for (int i = 1; i <= t.tot; i++) debug("up[%d] = %d\n", i, up[i]);
  for (int j = 1; j <= 17; j++)
    for (int i = 1; i <= t.tot; i++) fa[j][i] = fa[j - 1][fa[j - 1][i]];
  for (int u, v; ~scanf("%d%d", &u, &v);) {
    int k = lca(u, v);
    if (k <= n)
      printf("%d\n", up[u] + up[v] - 2 * up[k]);
    else {
      int ub = jump(u, dep[u] - dep[k] - 1), vb = jump(v, dep[v] - dep[k] - 1);
      printf("%d\n",
             up[u] - up[ub] + up[v] - up[vb] + getdist_cycle(ub, vb, k));
    }
  }
  return 0;
}
洛谷 P10203 [湖北省选模拟 2024] 玩具销售员 / tartaglia

（这个是圆方树 dp，更具有代表性）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
template <class T>
using must_int = enable_if_t<is_integral<T>::value>*;
template <unsigned umod>
struct modint {
  static constexpr int mod = umod;
  unsigned v;
  modint() : v(0) {}
  template <class T, must_int<T> = nullptr>
  modint(T x) {
    x %= mod, v = x < 0 ? x + mod : x;
  }
  friend int raw(modint self) { return self.v; }
  friend ostream& operator<<(ostream& os, modint self) {
    return os << raw(self);
  }
  modint& operator+=(const modint& rhs) {
    v += rhs.v;
    if (v >= umod) v -= umod;
    return *this;
  }
  modint& operator-=(const modint& rhs) {
    v -= rhs.v;
    if (v >= umod) v += umod;
    return *this;
  }
  modint& operator*=(const modint& rhs) {
    v = 1ull * v * rhs.v % umod;
    return *this;
  }
  modint& operator/=(const modint& rhs) {
    assert(rhs.v);
    return *this *= qpow(rhs, mod - 2);
  }
  template <class T, must_int<T> = nullptr>
  friend modint qpow(modint a, T b) {
    modint r = 1;
    for (; b; b >>= 1, a *= a)
      if (b & 1) r *= a;
    return r;
  }
  friend modint operator+(modint lhs, const modint& rhs) { return lhs += rhs; }
  friend modint operator-(modint lhs, const modint& rhs) { return lhs -= rhs; }
  friend modint operator*(modint lhs, const modint& rhs) { return lhs *= rhs; }
  friend modint operator/(modint lhs, const modint& rhs) { return lhs /= rhs; }
};
typedef modint<998244353> mint;
template <int N, int M, class T>
struct graph {
  int head[N + 10], nxt[M << 1], cnt;
  struct edge {
    int u, v;
    T w;
  };
  edge e[M << 1];
  edge& operator[](int i) { return e[i]; }
  graph() { memset(head, 0, sizeof head), cnt = 1; }
  void add(int u, int v, T w) {
    e[++cnt] = {u, v, w}, nxt[cnt] = head[u], head[u] = cnt;
  }
  void link(int u, int v, T w) { add(u, v, w), add(v, u, w); }
};
int n, m, Q;
graph<300010, 300010, mint> g;
namespace subtaskA {
mint f[300010];
void dfs(int u, int fa) {
  f[u] = 1;
  for (int i = g.head[u]; i; i = g.nxt[i]) {
    int v = g[i].v;
    if (v == fa) continue;
    dfs(v, u);
    f[u] += f[v] * g[i].w;
  }
}
void dp(int u, int fa) {
  for (int i = g.head[u]; i; i = g.nxt[i]) {
    int v = g[i].v;
    if (v == fa) continue;
    mint ofv = f[v];
    f[v] += (f[u] - f[v] * g[i].w) * g[i].w;
    dp(v, u);
  }
}
mint* solve() { return dfs(1, 0), dp(1, 0), f; }
};                    // namespace subtaskA
namespace subtaskC {  // "C" stands for "cactus"!
int cid[300010];
struct cycle {
  int len;
  vector<int> dts;
  vector<mint> pre, pri;
  cycle() : pre({1}) {}
  void add(int u, mint w) {
    cid[u] = dts.size();
    dts.push_back(u);
    pre.push_back(w);
  }
  void build() {
    len = pre.size() - 1;
    pri.resize(len + 1);
    pri[len] = 1;
    for (int i = 1; i <= len; i++) pri[len] *= pre[i];
    pri[len] = 1 / pri[len];
    for (int i = len; i >= 1; i--) pri[i - 1] = pri[i] * pre[i];
    for (int i = 1; i <= len; i++) pre[i] *= pre[i - 1];
  }
  mint query(int u, int v) {
    u = cid[u], v = cid[v];
    if (u > v) swap(u, v);
    mint w1 = pre[v] * pri[u];
    mint w2 = pre[len] * pri[v] * pre[u];
    return w1 + w2 - w1 * w2;
  }
};
graph<600010, 600010, mint> t;
int dfn[300010], tot;
cycle cyc[600010];
void tarjan(int u) {
  static int low[300010], stk[300010], cnt, top;
  static bool vie[300010 << 1];
  static mint tmp[300010], pre[300010];
  dfn[u] = low[u] = ++cnt;
  stk[++top] = u;
  for (int i = g.head[u]; i; i = g.nxt[i]) {
    if (vie[i] || vie[i xor 1]) continue;
    vie[i] = vie[i xor 1] = true;
    int v = g[i].v;
    if (!dfn[v]) {
      pre[v] = g[i].w;
      tarjan(v);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
      if (low[v] > dfn[u]) {
        t.link(u, v, g[i].w);
        assert(stk[top] == v);
        --top;
      } else if (low[v] == dfn[u]) {
        int p = ++tot;
        debug("new cycle: %d, ", u);
        t.link(p, u, 0);
        cyc[p].add(u, tmp[u]);
        do {
          t.link(p, stk[top], 0);
          cyc[p].add(stk[top], pre[stk[top]]);
          debug("%d, ", stk[top]);
        } while (stk[top--] != v);
        debug("\n");
        cyc[p].build();
      }
    } else {
      if (dfn[v] < low[u]) tmp[v] = g[i].w;
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
  }
}
mint h[300010], f[300010];
void dfs(int u, int fa) {
  f[u] = 1;
  for (int i = t.head[u]; i; i = t.nxt[i]) {
    int v = t[i].v;
    if (v == fa) continue;
    if (v <= n) {
      dfs(v, u);
      f[u] += f[v] * t[i].w;
    } else {
      for (int z : cyc[v].dts) {
        if (z == u) continue;
        dfs(z, v);
        f[u] += f[z] * cyc[v].query(u, z);
      }
    }
  }
  debug("f[%d] = %d\n", u, f[u]);
}
void dp(int u, int fa) {
  h[u] = f[u];
  for (int i = t.head[u]; i; i = t.nxt[i]) {
    int v = t[i].v;
    if (v == fa) continue;
    if (v <= n) {
      f[v] += (f[u] - f[v] * t[i].w) * t[i].w;
      dp(v, u);
    } else {
      for (int z : cyc[v].dts) {
        if (z == u) continue;
        f[u] -= f[z] * cyc[v].query(u, z);
      }
      assert(cyc[v].dts.front() == u);
      int sz = cyc[v].dts.size();
      mint prd = cyc[v].pre[cyc[v].len];
      vector<mint> w1s(sz + 1, 0), w2s(sz + 1, 0), w3s(sz + 1, 0);
      for (int i = sz - 1; i >= 1; i--) {
        int z = cyc[v].dts[i];
        w1s[i] = w1s[i + 1] + f[z] * cyc[v].pre[i];
        w2s[i] = w2s[i + 1] + f[z] * cyc[v].pri[i] * prd;
        w3s[i] = w3s[i + 1] + f[z];
      }
      mint w1p = f[u] * cyc[v].pri[0], w2p = f[u] * cyc[v].pre[0] * prd,
           w3p = f[u];
      for (int i = 1; i < sz; i++) {
        int z = cyc[v].dts[i];
        mint ofz = f[z];
        f[z] += (w1p + w2s[i + 1]) * cyc[v].pre[i];
        f[z] += (w2p + w1s[i + 1]) * cyc[v].pri[i];
        f[z] -= (w3p + w3s[i + 1]) * prd;
        dp(z, v);
        w1p += ofz * cyc[v].pri[i];
        w2p += ofz * cyc[v].pre[i] * prd;
        w3p += ofz;
      }
    }
  }
}
mint* solve() {
  tot = n;
  tarjan(1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) assert(dfn[i]);
  dfs(1, 0);
  dp(1, 0);
  return h;
}
};  // namespace subtaskC
int main() {
#ifndef LOCAL
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
#endif
  cin >> n >> m >> Q;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v, p, q;
    cin >> u >> v >> p >> q;
    g.link(u, v, mint(p) / q);
  }
  mint* fans;
  if (n == m + 1)
    fans = subtaskA::solve();
  else
    fans = subtaskC::solve();
  while (Q--) {
    int x;
    cin >> x;
    cout << fans[x] << endl;
  }
  return 0;
}

crxis 缩点

由 crxis 提出的缩点算法。我认为没有比 tarjan 好到哪里去，应该忽略之。

https://www.cnblogs.com/caijianhong/p/16863460.html

2-sat 问题

一句话概括，将 bool 变量的两种取值拆成两个点，然后对于一个限制：\(f_u=a\) 和 \(f_v=b\) 至少有一个成立（可以两个都成立），就是说若 \(f_u\neq a\) 那么必然 \(f_v=b\)，若 \(f_v\neq b\) 那么必然 \(f_u=a\)。其他的限制都可以用这个推出了。例如钦定某命题为假，就是这个命题为假和这个命题为假至少有一个成立。

点击查看代码 
template <int N>
struct two_sat {
    vector<int> g[N << 1];
    int cnt, top, col;
    int dfn[N << 1], stk[N << 1], scc[N << 1], low[N << 1];
    two_sat() {
        for (int i = 0; i < N << 1; i++) g[i].clear();
    }
    void add_clause(int u, bool f, int v, bool h) {
        //debug("add_clause(%d, %d, %d, %d)\n", u, f, v, h);
        //至少有一个成立
        g[u + !f * N].push_back(v + h * N);
        g[v + !h * N].push_back(u + f * N);
    }
    void tarjan(int u) {
        stk[++top] = u;
        dfn[u] = low[u] = ++cnt;
        for (int v: g[u]) {
            if (!dfn[v]) tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]);
            else if (!scc[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
        if (dfn[u] == low[u]) {
            scc[u] = ++col;
            do scc[stk[top]] = col;
            while (stk[top--] != u);
        }
    }
    bool satisfiable() {
        memset(dfn, 0, sizeof dfn);
        memset(scc, 0, sizeof scc);
        cnt = top = col = 0;
        for (int i = 0; i < N << 1; i++)
            if (!dfn[i]) tarjan(i);
        for (int i = 0; i < N; i++)
            if (scc[i] == scc[i + N]) return 0;
        return 1;
    }
};
posted @ 2022-11-23 09:05  caijianhong  阅读(24)  评论(0)  编辑  收藏  举报