【模板】线段树 Segment Tree / Segtree
posted on 2021-07-26 20:14:08 | under 学术 | source
posted on 2021-11-19 15:19:41 | under 模板 | source
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稍微地封装了一下，还是比较好用的。
这个线段树必跑满，注意一下常数。
复杂度为 \(O(n)-O(\log n)\)。
现在感觉就是，模板没用，线段树的题千变万化，今天值域 \(10^9\)，明天就上树了。奉劝大家：线段树一定要学好，它只是工具，而以后不会再有一道只考工具的题了。
区间加+区间和（RSQ）
https://www.luogu.com.cn/blog/pks-LOVING/senior-data-structure-qian-tan-xian-duan-shu-segment-tree
点击查看代码
template<class T,int N> struct SegmentTree{
T tag[N<<2],ans[N<<2];
SegmentTree(){memset(tag,0,sizeof tag),memset(ans,0,sizeof ans);}
int lc(int p){return p<<1;}
int rc(int p){return p<<1|1;}
void pushup(int p){
ans[p]=ans[lc(p)]+ans[rc(p)];
}
void update(T k,int l,int r,int p){
tag[p]+=k;
ans[p]+=k*(r-l+1);
}
void pushdown(int l,int r,int p){
if(tag[p]){
int mid=(l+r)>>1;
update(tag[p],l,mid,lc(p));
update(tag[p],mid+1,r,rc(p));
tag[p]=0;
}
}
void build(T ipt[],int l=1,int r=N,int p=1){
if(l==r) return (void)(ans[p]=ipt[l]);
int mid=(l+r)>>1;
build(ipt,l,mid,lc(p));
build(ipt,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
}
void add(T k,int ql,int qr,int l=1,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return update(k,l,r,p);
pushdown(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) add(k,ql,qr,l,mid,lc(p));
if(mid+1<=qr) add(k,ql,qr,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
}
T query(int ql,int qr,int l=1,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return ans[p];
pushdown(l,r,p);
T ans=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) ans+=query(ql,qr,l,mid,lc(p));
if(mid+1<=qr) ans+=query(ql,qr,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
return ans;
}
};
区间赋值+区间和
其实就是改一下 update/spread 再改一下函数名。
点击查看代码
template<class T,int N> struct SegmentTree{
T tag[N<<2],ans[N<<2];
SegmentTree(){memset(tag,-1,sizeof tag),memset(ans,0,sizeof ans);}
int lc(int x){return x<<1;}
int rc(int x){return x<<1|1;}
void pushup(int p){
ans[p]=ans[lc(p)]+ans[rc(p)];
}
void spread(T k,int l,int r,int p){
tag[p]=k;
ans[p]=k*(r-l+1);
}
void pushdown(int l,int r,int p){
if(tag[p]==-1) return ;
int mid=(l+r)>>1;
spread(tag[p],l,mid,lc(p));
spread(tag[p],mid+1,r,rc(p));
tag[p]=-1;
}
void build(T ipt[],int l=0,int r=N,int p=1){
if(l==r) return (void)(ans[l]=ipt[l]);
int mid=(l+r)>>1;
build(ipt,l,mid,lc(p));
build(ipt,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
}
void assign(T k,int ql,int qr,int l=0,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return spread(k,l,r,p);
pushdown(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) assign(k,ql,qr,l,mid,lc(p));
if(mid+1<=qr) assign(k,ql,qr,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
}
T query(int ql,int qr,int l=0,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return ans[p];
T ans=0;
pushdown(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) ans+=query(ql,qr,l,mid,lc(p));
if(mid+1<=qr) ans+=query(ql,qr,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
return ans;
}
};
区间最小/大值（RMQ）
点击查看代码
template<class T,int N,char cmp,T inf> struct SegmentTree{
T fun(T a,T b){return cmp=='<'?(a<b?a:b):(a<b?b:a);}
T ans[N<<2];
SegmentTree(){memset(ans,inf,sizeof ans);}
int lc(int p){return p<<1;}
int rc(int p){return p<<1|1;}
void build(T ipt[],int l=1,int r=N,int p=1){
if(l==r) return (void)(ans[p]=ipt[l]);
int mid=(l+r)>>1;
build(ipt,l,mid,lc(p));
build(ipt,mid+1,r,rc(p));
ans[p]=fun(ans[lc(p)],ans[rc(p)]);
}
T query(int ql,int qr,int l=1,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return ans[p];
T ans=inf;
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) ans=fun(ans,query(ql,qr,l,mid,lc(p)));
if(mid+1<=qr) ans=fun(ans,query(ql,qr,mid+1,r,rc(p)));
return ans;
}
};
由于使用方式有点离谱，说明一下：
SegmentTree<int,1000010,'<',0x7fffffff> a;
SegmentTree<int,1000010,'>',-0x7fffffff> b;
//Segment<类型,大小,'<'或'>',极限数> name;
//极限数（inf）需要满足 fun(inf,x)=x
或者这种：
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template<class T,int N,T (*fun)(T,T)> struct SegmentTree{
T ans[N*4+10];
SegmentTree(){memset(ans,0,sizeof ans);}
int lc(int x){return x<<1;}
int rc(int x){return x<<1|1;}
int build(T a[],int l=1,int r=N,int p=1){
if(l==r) return ans[p]=a[l];
int mid=(l+r)>>1;
return ans[p]=max(build(a,l,mid,lc(p)),build(a,mid+1,r,rc(p)));
}
int query(int ql,int qr,int l=1,int r=N,int p=1){
if(qr<l||r<ql) return 0;
if(ql<=l&&r<=qr) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1;
return max(query(ql,qr,l,mid,lc(p)),query(ql,qr,mid+1,r,rc(p)));
}
};
通用线段树
把懒标记绑定，注意优先级
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template<class T,int N> struct SegmentTree{
T tag[N<<2],ans[N<<2];
SegmentTree(){memset(tag,0,sizeof tag),memset(ans,0,sizeof ans);}
int lc(int p){return p<<1;}
int rc(int p){return p<<1|1;}
void pushup(int p){ans[p]=ans[lc(p)]+ans[rc(p)];}
void build(T ipt[],int l=1,int r=N,int p=1){
if(l==r) return (void)(ans[p]=ipt[l]);
int mid=(l+r)>>1;
build(ipt,l,mid,lc(p));
build(ipt,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
}
void update(T k,int l,int r,int p){
tag[p]+=k;
ans[p]+=k*(r-l+1);
}
void pushdown(int l,int r,int p){
if(!tag[p]) return ;
int mid=(l+r)>>1;
update(tag[p],l,mid,lc(p));
update(tag[p],mid+1,r,rc(p));
tag[p]=0;
}
void add(T k,int ql,int qr,int l=1,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return update(k,l,r,p);
pushdown(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) add(k,ql,qr,l,mid,lc(p));
if(mid+1<=qr) add(k,ql,qr,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
}
T query(int ql,int qr,int l=1,int r=N,int p=1){
if(ql<=l&&r<=qr) return ans[p];
pushdown(l,r,p);
T ans=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid) ans+=query(ql,qr,l,mid,lc(p));
if(mid+1<=qr) ans+=query(ql,qr,mid+1,r,rc(p));
pushup(p);
return ans;
}
};
另一种重度压行的实现：
点击查看代码
template<int N,class T,class A> struct segtree{
#define mid ((l+r)>>1)
T tag[4*N+10];A ans[4*N+10];
A add(T k,int p){return tag[p]+=k,ans[p]+=k;}
void psdw(int p){add(tag[p],p<<1),add(tag[p],p<<1|1),tag[p]=T();}
A build(A a[],int l=1,int r=N,int p=1){
if(tag[p]=T(),ans[p]=A(),l==r) return ans[p]=a[l];
return ans[p]=build(a,l,mid,p<<1)+build(a,mid+1,r,p<<1|1);
}
A modify(T k,int L,int R,int l=1,int r=N,int p=1){
if(r<L||R<l||L>R) return A();if(L<=l&&r<=R) return add(k,p);
return psdw(p),ans[p]=modify(k,L,R,l,mid,p<<1)+modify(k,L,R,mid+1,r,p<<1|1);
}
A query(int L,int R,int l=1,int r=N,int p=1){
if(r<L||R<l||L>R) return A();if(L<=l&&r<=R) return ans[p];
return psdw(p),query(L,R,l,mid,p<<1)+query(L,R,mid+1,r,p<<1|1);
}
#undef mid
};
单点修改，区间查询：（没有懒标记）
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template<int N,class A,int RN=N*2> struct segtree{
A ans[RN+10];int ch[RN+10][2],cnt,root;
segtree():cnt(-1){root=0;newnode();}
void add(A k,int &p){if(!p) p=newnode();ans[p]=k;}
int newnode(){return ans[++cnt]=A(),ch[cnt][0]=ch[cnt][1]=0,cnt;}
void maintain(int &p){ans[p]=ans[ch[p][0]]+ans[ch[p][1]];}
void modify(A k,int L,int R,int &p,int l=1,int r=N){
if(!p) p=newnode();
if(L<=l&&r<=R) return add(k,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) modify(k,L,R,ch[p][0],l,mid);
if(mid+1<=R) modify(k,L,R,ch[p][1],mid+1,r);
maintain(p);
}
A query(int L,int R,int &p,int l=1,int r=N){
if(!p) return A();
if(L<=l&&r<=R) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1;A res=A();
if(L<=mid) res=res+query(L,R,ch[p][0],l,mid);
if(mid+1<=R) res=res+query(L,R,ch[p][1],mid+1,r);
return res;
}
};
单点修改，全局询问，那还要线段树干什么？
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template<int N,class T> struct segtree{
T ans[N<<2];
segtree(){memset(ans,0,sizeof ans);}
void modify(int x,T k,int p=1,int l=1,int r=N){
if(l==r) return void(ans[p]=k);
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) modify(x,k,p<<1,l,mid);
else modify(x,k,p<<1|1,mid+1,r);
ans[p]=ans[p<<1]+ans[p<<1|1];
}
};
//query=t.ans[1]
线段树二分
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typedef long long LL;
template<int N> struct segtree{
int ans[N<<2];
void build(int b[],int p=1,int l=1,int r=N){
if(l==r) return ans[p]=b[l],void();
int mid=(l+r)>>1;
build(b,p<<1,l,mid),build(b,p<<1|1,mid+1,r);
ans[p]=min(ans[p<<1],ans[p<<1|1]);
}
int query(int L,int R,LL k,int p=1,int l=1,int r=N){
if(L<=l&&r<=R&&ans[p]>k) return 0;
if(L<=l&&r<=R&&l==r) return l;
int mid=(l+r)>>1,res;
if(L<=mid&&(res=query(L,R,k,p<<1,l,mid))) return res;
if(mid<R&&(res=query(L,R,k,p<<1|1,mid+1,r))) return res;
return 0;
}
};
动态开点
一次修改 \(+O(\log n)\) 个结点
无删除：
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template<int N,class T,class A> struct segtree{
T tag[N*20+10];A ans[N*20+10];
int ch[N*20+10][2],cnt,root;
segtree():cnt(-1){root=0;newnode();}
void add(T k,int &p,int l,int r){if(!p) p=newnode();ans[p].add(k,l,r),tag[p]+=k;}
int newnode(){return tag[++cnt]=T(),ans[cnt]=A(),ch[cnt][0]=ch[cnt][1]=0,cnt;}
void maintain(int &p){ans[p]=ans[ch[p][0]]+ans[ch[p][1]];}
void pushdown(int &p,int l,int r){
if(tag[p].empty()) return ;
int mid=(l+r)>>1;
add(tag[p],ch[p][0],l,mid);
add(tag[p],ch[p][1],mid+1,r);
tag[p]=T();
}
void modify(T k,int L,int R,int &p,int l=1,int r=N){
if(!p) p=newnode();
if(L<=l&&r<=R) return add(k,p,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(p,l,r);
if(L<=mid) modify(k,L,R,ch[p][0],l,mid);
if(mid+1<=R) modify(k,L,R,ch[p][1],mid+1,r);
maintain(p);
}
A query(int L,int R,int &p,int l=1,int r=N){
if(!p) return A();
if(L<=l&&r<=R) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1;A res=A();
pushdown(p,l,r);
if(L<=mid) res=res+query(L,R,ch[p][0],l,mid);
if(mid+1<=R) res=res+query(L,R,ch[p][1],mid+1,r);
return res;
}
};
如果空间卡的很死，试试垃圾回收
点击查看代码
template<int N,class T,class A> struct segtree{
T tag[N*20+10];A ans[N*20+10];
int ch[N*20+10][2],cnt,root[N+10],nod[N*20+10],tot;
segtree():cnt(-1),tot(0){memset(root,0,sizeof root);newnode();}
void add(T k,int &p,int l,int r){
if(!p) p=newnode();
ans[p].add(k,l,r),tag[p]+=k;
}
int newnode(){
int k=tot==0?++cnt:nod[tot--];
ch[k][0]=ch[k][1]=0;
tag[k]=T(),ans[k]=A();
return k;
}
void delnode(int &p){
if(!ch[p][0]&&!ch[p][1]&&tag[p]==T()&&ans[p]==A()){
nod[++tot]=p;
p=0;
}
}
void pushup(int &p){
ans[p]=ans[ch[p][0]]+ans[ch[p][1]];
}
void pushdown(int &p,int l,int r){
if(tag[p]==T()) return ;
int mid=(l+r)>>1;
add(tag[p],ch[p][0],l,mid);
add(tag[p],ch[p][1],mid+1,r);
tag[p]=T();
}
void modify(T k,int L,int R,int &p,int l=1,int r=N){
if(!p) p=newnode();
if(L<=l&&r<=R) return add(k,p,l,r),delnode(p);
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(p,l,r);
if(L<=mid) modify(k,L,R,ch[p][0],l,mid);
if(mid+1<=R) modify(k,L,R,ch[p][1],mid+1,r);
pushup(p);
delnode(p);
}
A query(int L,int R,int &p,int l=1,int r=N){
if(!p) return A();
if(L<=l&&r<=R) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1;A res=A();
pushdown(p,l,r);
if(L<=mid) res=res+query(L,R,ch[p][0],l,mid);
if(mid+1<=R) res=res+query(L,R,ch[p][1],mid+1,r);
delnode(p);
return res;
}
};
examples
接口：Tag 要重载 += 表示懒标记结合，Ans 重载 + 表示答案结合和 add(k,l,r) 表示答案与懒标记结合。
P3372：区间 add+sum
ans.add(k,l,r)==ans+k*(r-l+1)，其他不变
P1253：区间 add+cover+max
把 add 和 cover 绑定在一起：
点击查看代码
struct Tag{
LL add,ass;
bool isass;
Tag(LL add=0,LL ass=-1e18,bool isass=0):add(add),ass(ass),isass(isass){}
Tag operator+=(Tag b){
if(b.isass){
add=0;
ass=b.ass;
isass=1;
}
add+=b.add;
return *this;
}
};
struct Ans{
LL x;
Ans(LL x=-1e18):x(x){}
friend Ans operator+(Ans a,Ans b){
return Ans(max(a.x,b.x));
}
Ans add(Tag k,int,int){
if(k.isass){
x=k.ass;
}
x+=k.add;
return *this;
}
};
P3373：区间 add+mul+sum
同样绑在一起，先乘后加：（之前写的，有点奇怪）
点击查看代码
struct tag {
LL mul, add;
tag(LL mul = 1, LL add = 0): mul(mul % P), add(add % P) {}
friend tag operator+(tag b, tag a) {
return tag(a.mul % P * b.mul % P, (a.mul % P * b.add % P + a.add % P) % P);
}
LL mix(LL sum, int l, int r) {
return (sum % P * mul % P + add % P * (r - l + 1) % P) % P;
}
};
可持久化线段树
单点修改，区间查询：
点击查看代码
template<int N,class A,int logN=23> struct exsegtree{
A ans[N*logN];//logN=logn+2=23
int tot,lc[N*logN],rc[N*logN];
int newnode(int p=0){int q=++tot;return ans[q]=ans[p],lc[q]=lc[p],rc[q]=rc[p],q;}
void pushup(int p){ans[p]=ans[lc[p]]+ans[rc[p]];}
exsegtree():tot(0){lc[0]=rc[0]=0;}
int build(A a[],int l=1,int r=N){
int q=newnode();
if(l==r) return ans[q]=a[l],q;
int mid=(l+r)>>1;
lc[q]=build(a,l,mid),rc[q]=build(a,mid+1,r);
return pushup(q),q;
}
int modify(int p,int x,A k,int l=1,int r=N){
int q=newnode(p);
if(l==r) return ans[q]=k,q;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) lc[q]=modify(lc[p],x,k,l,mid);
else rc[q]=modify(rc[p],x,k,mid+1,r);
return pushup(q),q;
}
A query(int p,int L,int R,int l=1,int r=N){
if(L<=l&&r<=R) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1;A res=A(0);
if(L<=mid) res=query(lc[p],L,R,l,mid)+res;
if(mid<R) res=res+query(rc[p],L,R,mid+1,r);
return res;
}
};
特殊用法：查询异或关系
考虑一个问题：你有一棵 0/1 trie（其实也可以说是线段树），里面有很多数，现在给定 \(y,L,R\) 查询是否存在 \(x\) 使得 \(x\oplus y\in [L,R]\)？
查看解法
考虑对 0/1 trie 进行 \(\oplus x\) 操作：对于第 \(i\) 层，如果 \(x\) 的第 \(i\) 位是 \(1\)，就交换这一层所有的左右儿子。相当于是你将所有根节点到叶子的路径全都“异或 \(x\)”，换到了正确的位置、
做完这个操作之后，直接查询 \([L,R]\) 的区间和。复杂度是线段树复杂度 \(O(\log V)\)。实现的时候我们可以不去换它，在进入左右儿子的时候偷偷交换一下。
template<int N,int M=1073741823> struct segtree{
int ans[N+10],tot,ch[N+10][2];
int newnode(){int p=++tot;return ch[p][0]=ch[p][1]=0,ans[p]=-1e9,p;}
segtree():tot(-1){newnode();}
void modify(int x,int k,int &p,int l=0,int r=M){
if(!p) p=newnode();
if(l==r) return (void)(ans[p]=max(ans[p],k));
// if(l==r) return printf("call modify(%d,%d,%d,%d,%d)\n",x,k,p,l,r),(void)(ans[p]=max(ans[p],k));
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) modify(x,k,ch[p][0],l,mid);
else modify(x,k,ch[p][1],mid+1,r);
ans[p]=max(ans[ch[p][0]],ans[ch[p][1]]);
}
int query(int L,int R,int x,int p,int l=0,int r=M){
// if(!p||(L<=l&&r<=R)) return printf("call query(%d,%d,%d,%d,%d,%d), line 69, return %d\n",L,R,x,p,l,r,ans[p]),ans[p];
if(!p||(L<=l&&r<=R)) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1,res=-1e9;
if((r-l+1)>>1&x){
if(L<=mid) res=max(res,query(L,R,x,ch[p][1],l,mid));
if(mid<R) res=max(res,query(L,R,x,ch[p][0],mid+1,r));
}else{
if(L<=mid) res=max(res,query(L,R,x,ch[p][0],l,mid));
if(mid<R) res=max(res,query(L,R,x,ch[p][1],mid+1,r));
}
// printf("call query(%d,%d,%d,%d,%d,%d), return %d\n",L,R,x,p,l,r,res);
return res;
}
};
单点修改区间查询
2n 空间非递归
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
int n, m, ans[1000010];
void modify(int x, int k) {
for (x += n; x; x >>= 1) ans[x] += k;
}
int query(int l, int r) {
int res = 0;
for (l += n, r += n; l < r; l >>= 1, r >>= 1) {
if (l & 1) res += ans[l++];
if (r & 1) res += ans[--r];
}
return res;
}
int main() {
#ifndef LOCAL
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
#endif
cin >> n >> m;
for (int i = n; i < n * 2; i++) cin >> ans[i];
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) ans[i] = ans[i << 1] + ans[i << 1 | 1];
while (m--) {
int op, x, y;
cin >> op >> x >> y;
if (op == 1) modify(x - 1, y);
else cout << query(x - 1, y) << endl;
}
return 0;
}
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