【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

2025.2.7 添加内容

参考文献：题解 P4717 【【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)】 - 洛谷专栏

下文不区分 FWT 和 FMT 而统一称作 FWT。

目录

• 题目描述
• 卷积运算律
• 三种卷积
  • 按位异或卷积
  • 按位或卷积
  • 按位与卷积
• 线性性
  • 矩阵形式
  • FWT 是系数转点值
  • 快速修改系数
• 按位独立性
  • 按位独立性
  • 提取某一位、添加位、删除位
• 子集卷积、集合幂级数相关问题
• 我建议你可以看看这篇文章

题目描述

有两个长度为 $2^n$ 的数组 $a,b$，你需要求出一个长度为 $2^n$ 的数组 $c$ 使得：

$$c_k=\sum _{i\oplus j=k}{a}_i{b}_j$$

其中 $\oplus \in \{\text{or},\text{and},\text{xor}\}$ 为按位或、按位与、按位异或三种运算之一。

卷积运算律

这三种卷积本身具有交换律、结合律、分配律。

交换律、结合律由 $\oplus$ 所代表的运算天然提供。

注意什么叫分配律。例如有 $a\otimes b=c$ 为我们刚才提到的卷积，那么定义 $f(x,y)=Ax+By$ 其中 $A,B$ 是常数，$x,y$ 为数字，若 $x,y$ 为数组则表示将这两个数组对位分别做 $f$ 运算。则

$$f(a,b)\otimes c=f(a\otimes c,b\otimes c)$$

这是因为

$$\begin{array}{rl}(f(a,b)\otimes c{)}_k& =\sum _{i\oplus j=k}f(a,b{)}_i{c}_j=\sum _{i\oplus j=k}f(a_i,b_i)c_j=\sum _{i\oplus j=k}f(a_i{c}_j,b_i{c}_j)\\ & =\sum _{i\oplus j=k}(A{a}_i{c}_j+B{b}_i{c}_j)=A\sum _{i\oplus j=k}{a}_i{c}_j+B\sum _{i\oplus j=k}{b}_i{c}_j\\ & =f(a\otimes c,b\otimes c{)}_k\end{array}$$

三种卷积

按位异或卷积

令 $c=a{\otimes }_{\text{xor}}b$，表示 $\text{xor}$ 卷积。

将 $a,b,c$ 按照二进制最高位奇偶分段为 $a_0,a_1,b_0,b_1,c_0,c_1$。

则有：

$$\begin{array}{rl}{c}_0& =(a_0{\otimes }_{\text{xor}}{b}_0)+(a_1{\otimes }_{\text{xor}}{b}_1)\\ c_1& =(a_0{\otimes }_{\text{xor}}{b}_1)+(a_1{\otimes }_{\text{xor}}{b}_0)\end{array}$$

观察到：

$$\begin{array}{rl}(a_0+a_1){\otimes }_{\text{xor}}(b_0+b_1)& =a_0{\otimes }_{\text{xor}}{b}_0+a_1{\otimes }_{\text{xor}}{b}_1+a_0{\otimes }_{\text{xor}}{b}_1+a_1{\otimes }_{\text{xor}}{b}_0\\ (a_0-a_1){\otimes }_{\text{xor}}(b_0-b_1)& =a_0{\otimes }_{\text{xor}}{b}_0+a_1{\otimes }_{\text{xor}}{b}_1-a_0{\otimes }_{\text{xor}}{b}_1-a_1{\otimes }_{\text{xor}}{b}_0\end{array}$$

记这两个为 $d_0,d_1$，我们的思路是算出 $d_0,d_1$，然后 $c_0=\frac{1}{2}(d_0+d_1),c_1=\frac{1}{2}(d_0-d_1)$。

所以：

$$\begin{array}{ccccc}& a_0& a_1& b_0& b_1\\ & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow \\ & a_0+a_1& a_0-a_1& b_0+b_1& b_0-b_1\end{array}$$

相当于我们篡改了我们要卷的东西，然后计算答案的时候改回去变成对的。假设继续递归算了 $d_0,d_1$，则回溯时

$$\begin{array}{ccc}& c_0& c_1\\ & \Uparrow & \Uparrow \\ & \frac{1}{2}(d_0+d_1)& \frac{1}{2}(d_0-d_1)\end{array}$$

做完了。实际代码实现会有点鬼畜。

复杂度 $O(n{2}^n)$。

点击查看代码

const int P=998244353;
void red(LL&x){x=(x%P+P)%P;}
void fwt_xor(LL *f,int n,int op){
	for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1){
		for(int i=0;i<n;i+=len){
			for(int j=0;j<k;j++){
				LL ta=f[i+j],tb=f[i+j+k];
				red(f[i+j]=(ta+tb)*op);
				red(f[i+j+k]=(ta-tb)*op);
			}
		}
	}
}
fwt_xor(a,n,1),fwt_xor(b,n,1),multiple(a,b,c,n),fwt_xor(c,n,499122177);
//multiple 是逐位相乘，499122177 是 2 的逆元

void fwt(mint f[], int n) {
  for (int k = 1, len = 2; len <= n; len <<= 1, k <<= 1) {
    for (int i = 0; i < n; i += len) {
      for (int j = 0; j < k; j++) {
        auto x = f[i + j], y = f[i + j + k];
        f[i + j] = x + y, f[i + j + k] = x - y;
      }
    }
  }
}
// 逆变换在最后需要对所有数除以 2^n，或者在每个 x+y 和 x-y 处都除以 2

按位或卷积

令 $c=a{\otimes }_{\text{or}}b$，表示 $\text{or}$ 卷积。

我们复读一遍上面的过程：因为

$$\begin{array}{rl}{c}_0& =a_0{\otimes }_{\text{or}}{b}_0\\ c_1& =a_0{\otimes }_{\text{or}}{b}_1+a_1{\otimes }_{\text{or}}{b}_0+a_1{\otimes }_{\text{or}}{b}_1\end{array}$$

施蝴蝶变换：

$$\begin{array}{rl}{a}_0{\otimes }_{\text{or}}{b}_0& =a_0{\otimes }_{\text{or}}{b}_0.\\ (a_0+a_1){\otimes }_{\text{or}}(b_0+b_1)& =a_0{\otimes }_{\text{or}}{b}_0+a_1{\otimes }_{\text{or}}{b}_1+a_0{\otimes }_{\text{or}}{b}_1+a_1{\otimes }_{\text{or}}{b}_0\end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc}& a_0& a_1& b_0& b_1\\ & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow \\ & a_0& a_0+a_1& b_0& b_0+b_1\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& c_0& c_1\\ & \Uparrow & \Uparrow \\ & d_0& d_1-d_0\end{array}$$

点击查看代码

void fwt_or(LL *f,int n,int op){
	for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1){
		for(int i=0;i<n;i+=len){
			for(int j=0;j<k;j++)
				red(f[i+j+k]+=f[i+j]*op);
		}
	}
}
fwt_or(a,n,1),fwt_or(b,n,1),multiple(a,b,c,n),fwt_or(c,n,-1);

void fort(mint a[], int n, mint op) {
  for (int k = 1, len = 2; len <= n; len <<= 1, k <<= 1) {
    for (int i = 0; i < n; i += len) {
      for (int j = 0; j < k; j++) {
        a[i + j + k] += a[i + j] * op;
      }
    }
  }
}
// 正变换传入 op=1，逆变换传入 op=-1

按位与卷积

这和按位或卷积是互相对称的，可以将结论和代码反过来。

$$\begin{array}{ccccc}& a_0& a_1& b_0& b_1\\ & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow \\ & a_0+a_1& a_1& b_0+b_1& b_1\end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}& c_0& c_1\\ & \Uparrow & \Uparrow \\ & d_0-d_1& d_1\end{array}$$

点击查看代码

void fwt_and(LL *f,int n,int op){
	for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1)
		for(int i=0;i<n;i+=len){
			for(int j=0;j<k;j++){
				red(f[i+j]+=f[i+j+k]*op);
		}
	}
}
fwt_and(a,n,1),fwt_and(b,n,1),multiple(a,b,c,n),fwt_and(c,n,-1);

void fandt(mint a[], int n, mint op) {
  for (int k = 1, len = 2; len <= n; len <<= 1, k <<= 1) {
    for (int i = 0; i < n; i += len) {
      for (int j = 0; j < k; j++) {
        a[i + j] += a[i + j + k] * op;
      }
    }
  }
}
// 正变换传入 op=1，逆变换传入 op=-1

线性性

矩阵形式

我们可以写出：

$${\text{FWT}}_{\text{xor}}(a{)}_S=\sum _T(-1{)}^{|S\cap T|}{a}_T$$

$${\text{FWT}}_{\text{or}}(a{)}_S=\sum _{T\subseteq S}{a}_T$$

$${\text{FWT}}_{\text{and}}(a{)}_S=\sum _{T\supseteq S}{a}_T$$

第一个式子不是很显然，但是你可以看代码发现它们是一样的。关于它们的逆运算（IFWT，也可以称作逆变换），你可以认为，FWT 是一个线性运算，我们将 $a$ 想象成一个长度为 $2^n$ 的列向量，这三种 FWT 就是将 $a$ 左乘了一个矩阵，那么 IFWT 只需要左乘那个矩阵的逆矩阵就行了。以下写出三种 FWT 对应的逆矩阵：

$${\text{IFWT}}_{\text{xor}}(a)=2^{-n}{\text{FWT}}_{\text{xor}}(a)$$

$${\text{IFWT}}_{\text{or}}(a{)}_S=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|S\setminus T|}{a}_T$$

$${\text{IFWT}}_{\text{and}}(a{)}_S=\sum _{T\supseteq S}(-1{)}^{|T\setminus S|}{a}_T$$

对应到代码则更简单，xor 的情况在最后除掉（注意到 $2^{-n}\equiv -\frac{p-1}{2^n}(\mathrm{mod}p)$ 这可以简化运算），or 和 and 的情况由于按位独立性可以将 += 改成 -=。

也就是说：FWT 的变换事实上是左乘一个矩阵。矩阵为这种变换带来了线性性。

FWT 是系数转点值

你可以将一个数组 FWT 后的结果进行各种操作，好像把它当作一个 valarray 一样进行运算，最后再对其做 IFWT（也就是 FWT 的逆运算、逆变换）。

这是因为 FWT 实际上是将一个集合幂级数转换为 $2^n$ 个点值表示，就像 FFT 将系数表示法转换为点值表示法一样。

这是一个例子，我们对 $a$ 做 xor FWT 后对每个点值开 $m$ 次幂再 IFWT，也就是自己对自己做了 $m$ 次异或卷积。

fwt(f,1<<n,1);
for(int i=0;i<1<<n;i++) f[i]=qpow(f[i],m);
fwt(f,1<<n,-1);

快速修改系数

有时候我们需要修改原来的集合幂级数的某个系数，那么怎么对应到新的点值表示？非常简单，例如 $a_i$ 要加上 $b$，则你对一个 $a_i=b$，其它位置为 $0$ 的集合幂级数做一次 FWT，然后再加回去到原来的点值表示。这就是线性性的一个应用，这里用到分配律。

按位独立性

按位独立性

FWT 的一个重要性质是：处理每一位的顺序是无关紧要的。这点与 FFT 不同，因为运算都是位运算。

这意味着每一位的位运算操作可以是不同的，有题目考察到了这一点：P5406 [THUPC 2019] 找树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态。做法是每一位分别去做对应的 FWT。

如果输入的 $a$ 数组进行了对位的一个轮换（即置换，例子如 FFT 的蝴蝶变换），那么 $\text{FWT}(a)$ 也做同样的轮换就行了。

逆运算也是按位独立的，每一位是否做了 FWT 或者 IFWT 不会影响其它位。

如何单独对第 $b$ 位做 FWT 呢？枚举所有 $0\le i<2^n$ 中满足 i >> b & 1 的，然后拿出 a[i] 和 a[i ^ (1 << b)] 这两项进行操作即可。

提取某一位、添加位、删除位

例如我们现在手上有点值，如何得知原来的系数中奇数项和偶数项是否相等，或者偶数项是否全为零？我们只需要单独对这一位做 IFWT，这样把原数组分成两份，这两份分别就是这一位为 $0$ 的系数对应的点值和这一位为 $1$ 的系数对应的点值。然后就能判断以上这些问题了。由此你可以在 $O(2^n)$ 的时间内由点值找出最前的非零系数的位置，我勒个 FWT 二分。

添加位的时候，首先进行位轮换为将要添加的位腾出位置。然后根据添加的这一位是全填 $0$ 还是 $1$ 还是都填去做相应的复制，最后单独对这一位做 FWT。

删除位的时候，单独对这一位做 IFWT，然后选择某种策略将其合并或删除，最后进行位轮换把它移出去。

实际代码不用这么麻烦，可以预先知道“单独对这一位做 FWT”的效果，少写一点东西。

子集卷积、集合幂级数相关问题

【模板】子集卷积 - caijianhong - 博客园

我建议你可以看看这篇文章

数学小记 #3：从 CF1103E 浅谈异或卷积 - 洛谷专栏