【模板】二元一次不定方程 exgcd

posted on 2022-09-17 15:59:26 | under 模板 | source

code

LL mod(LL x,LL m){return(x%m+m)%m;}
LL exgcd(LL a,LL b,LL c,LL& x,LL& y){
	if(!b) return x=c/a,y=0,a;
	LL res=exgcd(b,a%b,c,y,x);
	return y-=a/b*x,res;
}
LL solve(LL a,LL b,LL c){
	LL x,y,d=exgcd(a,b,c,x,y);
	return c%d==0?mod(x,b/d):-1;
}

template <class T>
tuple<T, T, T> exgcd(T a, T b, T c) {
    if (!b) return {c / a, 0, a};
    auto [x, y, d] = exgcd(b, a % b, c);
    return {y, x - a / b * y, d};
}
template <class T>
T solveEquation(T a, T b, T c) { // get the vaild solution x of ax + by = c
    auto [x, y, d] = exgcd(a, b, c);
    auto mod = [](T x, T y) { return (x % y + y) % y; };
    return c % d == 0 ? mod(x, b / d) : -1;
}
template <class T>
T getInv(T a, T p) {
    return solveEquation(a, p, 1);
}

调用 solve(a,b,c) 能求得 $ax+by=c$ 中 $x$ 的最小非负整数解，无解返回 $-1$。

$n$ 在模 $P$ 意义下的逆元是 solve(n,P,1)。

但是，为什么这样写对呢？

exgcd

我们想求的是这样一个东西的一组解 $(x,y)$：$ax+by=gcd(a,b)$。

回忆一下我们求 $gcd$ 的过程，我们用到了 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$ 的性质。

将原方程的 $(a,b)$ 全部替换成 $(b,amodb)$ 也应该成立：

$$bx+(amodb)y=gcd(b,amodb).$$

取模的定义：$amodb=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \cdot b$（下文 $\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$ 写作 $a/b$），代入：

$$\begin{array}{rl}bx+(a-(a/b)\cdot b)y& =gcd(b,amodb)\\ bx+ay-(a/b)\cdot by& =gcd(b,amodb)\\ ay+b(x-(a/b)\cdot y)& =gcd(b,amodb)\end{array}$$

我们貌似看到了一组新的解 $(x^{\prime }=y,y^{\prime }=x-(a/b)\cdot y)$。这就是 exgcd。将这个过程递归下去即可。

发现还有递归边界，此时 $b=0$，原方程变为 $ax=a$（$a$ 是原来的 $gcd(a,b)$），取 $(x=1,y=0)$（$y$ 可以是任何数，但一般取 $0$），即为递归边界。

LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y){
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	LL res=exgcd(b,a%b,y,x);
	return y-=a/b*x,res;
}

exgcd :: Integral a => (a, a) -> (a, a)
exgcd (a, 0) = (1, 0)
exgcd (a, b) = let (x, y) = exgcd (b, a `mod` b) in (y, x - (a `div` b) * y)

继续

exgcd 可以求出形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组整数特解 $(x_0,y_0)$。

由裴蜀定理得，如果 $gcd(a,b)\nmid c$ 那么直接跑路。

否则，等式两边同时乘 $\frac{c}{gcd(a,b)}$，得到原方程 $ax+by=c$ 的特解 $(x_1=\frac{c}{gcd(a,b)}\cdot x_0,y_1=\frac{c}{gcd(a,b)}\cdot y_0)$。

考虑这么一个式子，它和原方程等价：

$$a(x_1+db)+b(y_1-da)=c$$

显然 $d$ 可以取到 $1/gcd(a,b)$，所以得到任意一组解 $(x,y)$ 都满足：

$$\{\begin{array}{l}x=x_1+s\cdot \frac{b}{gcd(a,b)},\\ y=y_1-s\cdot \frac{a}{gcd(a,b)}.\end{array}$$

所以 $x$ 的最小的正整数解是 $x_{1}mod\frac{b}{gcd(a,b)}$。我们止步于此。

code-analysis

LL mod(LL x,LL m){return(x%m+m)%m;}
LL exgcd(LL a,LL b,LL c,LL& x,LL& y){
	if(!b) return x=c/a,y=0,a;
    //x=c/a，提前算好 x_1，这里 a 是 gcd
	LL res=exgcd(b,a%b,c,y,x);
	return y-=a/b*x,res;
}
LL solve(LL a,LL b,LL c){
	LL x,y,d=exgcd(a,b,c,x,y);
	return c%d==0?mod(x,b/d):-1;
    //先判无解，如果有解就模
}