【笔记】线性代数：矩阵的特征值 / 题解 ZROI2589【[23ab-day2] 喜欢】

problem

你有 \(A\cdot B\) 个节点，编号为 \(0\sim AB−1\)，\(x,y\) 之间有边当且仅当 \(x\not\equiv y\pmod A\land x\not\equiv y\pmod B\)，求生成树数量对 \(998244353\) 取模的结果。\(1\leq A,B\leq 10^{18}\)。

solution

一上来就矩阵树定理，\(10\) 分到手。打表 \(A\leq 3\)，\(50\) 分到手（但是没取模挂了嘤嘤嘤）。

我们考虑爆算这个行列式。以下令 \(n=AB\)，矩阵下标从 \(0\) 开始。

part 1 矩阵的特征值

想象在高维空间里有一个列向量 \(\vec v\)，有一个矩阵 \(M\)，如果我们将 \(M\) 左乘 \(\vec v\)，得到 \(M\vec v\)，那么这是一个列向量，是原来的 \(\vec v\) 的旋转、伸缩的结果，是原来的 \(\vec v\) 的线性组合。如果这个 \(M\vec v\) 和原来的 \(\vec v\) 的方向是一样的，我们称 \(\vec v\) 是矩阵的特征向量，伸缩的比值是矩阵的特征值 \(\lambda\)，写作 \(M\vec v=\lambda\vec v\)（这里 \(\lambda\) 是一个数）。

特征值具有以下性质：

• 对于 \(n\) 阶方阵 \(M\)，特征值有 \(n\) 个，可以有重复。

• \(\det(M)=\prod_{i=0}^{n-1}\lambda_i\)。

• \(tr(M)=\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\)，其中 \(tr(M)=\sum_{i=0}^{n-1}M_{i,i}\) 是矩阵的 迹，即主对角线之和。

• 特征多项式：将 \(\lambda\) 视作未知数，则 \(\det(M-\lambda I)\) 是矩阵的特征多项式。就是说，\(I\) 是单位矩阵，\(M-\lambda I\) 就是 \(M\) 这个矩阵的主对角线全部减去未知数 \(\lambda\)，然后展开行列式的那一大坨东西，得到了一个 \(n\) 次多项式。平时看到的 \(|M-\lambda I|\) 就是这个东西，以下都用 \(|M|\) 表示行列式。

• 使得方程 \(|M-\lambda I|=0\) 成立的 \(\lambda\)，一共有 \(n\) 个，对应 \(n\) 个特征值，所以 \(|M-\lambda I|=\prod_{i=0}^{n-1}(\lambda_i-\lambda)\)。

有些教材把特征多项式定义成 \(\det(\lambda I-M)\) 以避开对特征多项式取值时正负号的讨论。以下不改了。

part 2 特征多项式的使用

根据矩阵树定理，我们要求 度数矩阵 减 邻接矩阵（记为 \(M\)）划去一行一列后的行列式，这是答案。矩阵树定理告诉我们，划去哪一行哪一列都是行的，算出来答案相同（都是生成树个数），那么记 \(M_i\) 表示 \(M\) 划去 \(i\) 行 \(i\) 列的矩阵，则我们可以求 \(ans=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}|M_i|\)。

这个转换有重大作用，根据行列式定义，我们可以将特征多项式展开得到：

\[|M-\lambda I|=\sum_{\sigma}(-1)^{sgn(\sigma)}\prod_{i=0}^{n-1}(M-\lambda I)_{i,\sigma_i}\\ =\sum_{\sigma}(-1)^{sgn(\sigma)}\prod_{i=0}^{n-1}(M_{i,\sigma_i}-[i=\sigma_i]\lambda)\\ =\sum_{S\subseteq\{0,1,\cdots,n-1\}}(-\lambda)^{|S|}|M \text{删去} S \text{中的行列}|. \]

这里的 \(S\)，枚举的是“所有 \(\sigma_i=i\) 的且乘起来的时候选了 \(\lambda\) 的 \(i\) 的集合”，所以它是对的。

\(n\) 阶矩阵的特征多项式的 \(k\) 次项系数等于原矩阵的所有 \(n-k\) 阶主子式的行列式之和（乘上 \((-1)^k\)）。

对 \(|M-\lambda I|\) 提取一次项系数得

\[(-1)[\lambda](|M-\lambda I|)=\sum_{i=0}^{n-1}|M_i|. \]

非常完美，恰好是我们要求的东西（的 \(n\) 倍）。考虑怎么求他，我们套用另一个定义：

\[(-1)[\lambda](|M-\lambda I|)=\prod_{i=0}^{n-1}(\lambda_i-\lambda)=\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j\neq i}\lambda_j. \]

后面将说明 \(\lambda_0=0\)，所以所求即为剩下 \(n-1\) 个特征值的乘积。

part 3 原矩阵的特征值

注意到我们原来的矩阵（度数矩阵 减 邻接矩阵）\(M\) 是一个循环矩阵，这比较显然。那么它的特征值有哪些呢？

我们取 \(\omega\) 为 \(n\) 次单位根（的某一个幂，只要求 \(\omega^n=1\)），构造

\[\vec v=\begin{bmatrix} 1\\ \omega\\ \omega^2\\ \vdots\\ \omega^{n-1} \end{bmatrix}\Rightarrow M\vec v=\begin{bmatrix} a_{0}&+ a_{1}\omega&+ a_{2}\omega^2&+ \cdots&+a_{n-1}\omega^{n-1}\\ a_{n-1}&+ a_{0}\omega&+ a_{1}\omega^2&+ \cdots&+a_{n-2}\omega^{n-1}\\ a_{n-2}&+ a_{n-1}\omega&+ a_{0}\omega^2&+ \cdots&+a_{n-3}\omega^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1}&+ a_{2}\omega&+ a_{3}\omega^2&+ \cdots&+a_{0}\omega^{n-1} \end{bmatrix}. \]

注意到单位根这种东西自带一个循环移位，如果使 \(\vec v\) 点乘 \(f(\omega)\)，其中

\[\begin{aligned} f(x)&=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots a_{n-1}x^{n-1}.\\ f(\omega)\vec v&=\begin{bmatrix} a_{0}\omega^{0}+ a_{1}\omega^1+ a_{2}\omega^2+ \cdots+a_{n-1}\omega^{n-1}\\ a_{0}\omega^1+ a_{1}\omega^2+ a_{2}\omega^3+ \cdots+a_{n-1}\omega^{0}\\ a_{0}\omega^2+ a_{1}\omega^3+ a_{2}\omega^4+ \cdots+a_{n-1}\omega^{1}\\ \vdots\\ a_{0}\omega^{n-1}+ a_{1}\omega^0+ a_{2}\omega^1+ \cdots+a_{n-1}\omega^{n-2}\\ \end{bmatrix}. \end{aligned} \]

则 \(M\vec v=f(\omega)\vec v\)，所以 \(n\) 个 \(\vec v\) 是 \(M\) 的特征向量，\(n\) 个 \(f(\omega)\) 是原矩阵的特征值。

另一些证明：https://www.cnblogs.com/ac-evil/p/14734728.html

part 4 计算特征值

我们现在要计算所有特征值，只要把 \(\omega\) 代入 \(f\) 就好了，正常情况下我们可以 FFT，但这题不正常。

刻画 \(f\) 非常的容易，就是普通容斥：前面是度数在常数项，后面是邻接矩阵。

\[f(x)=AB-A-B+\gcd(A,B)-(\sum_{i=0}^{AB-1}x^i-\sum_{i=0}^{B-1}x^{iA}-\sum_{i=0}^{A-1}x^{iB}+\sum_{i=0}^{\gcd(A,B)-1}x^{i\operatorname{lcm}(A,B)}). \]

我们要带入 \(\omega\)，看上去像单位根反演，试一下：

• \(f(1)=0\) 显然，所以有一个特征值为 \(0\)，好久之前说要算的东西变成 \(\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j\neq i}\lambda_j=\prod_{i=1}^{n-1}\lambda_i\)。以下不考虑。
• 考虑 \(\sum_{i=0}^{B-1}x^{iA}\) 这一项，如果 \(x=\omega^k\)，这里 \(\omega\) 是真的 \(n\) 次单位根，那么：
  • \(B|k\) 时，原式等于 \(w^{AB}\) 的不知道多少次方求和，即 \(B\)。
  • 否则等比数列求和，\(\dfrac{1-\omega^{kAB}}{1-\omega^{kA}}=\dfrac{1-1^k}{?\neq 0}=0\)。
• 其他项完全一样，所以这个东西等于
  • \(f(\omega^k)=[k\not\mid AB]AB-[k\not\mid A]A-[k\not\mid B]B+[k\not\mid \gcd(A,B)]\gcd(A,B),k\neq 0\)。
  • \(f(1)=0\)。

故逐个枚举那些东西是否成立并计算答案即可。简单容斥了。

code

人生苦短，没用 python。

int main(){
	scanf("%lld%lld",&_A,&_B);
	A=_A,B=_B;
	LL ans=1;
	i128 D=gcd(_A,_B),L=A/D*B;
	i128 deg=A*B+D-A-B;
	debug("A=%lld,B=%lld,D=%lld,L=%lld,deg=%lld\n",(LL)A,(LL)B,(LL)D,(LL)L,(LL)deg);
	//i!=0
	//A|i,B|i,d|i=>L|i
	red(ans*=qpow(deg-D+A+B,D+(-1)));//except ab
	//A|i,B\|i,d|i=>A|i,L\|i
	red(ans*=qpow(deg-D+A,B-D));
	//A\|i,B|i,d|i
	red(ans*=qpow(deg-D+B,A-D));
	//A\|i,B\|i,d|i
	red(ans*=qpow(deg-D,L-A-B+D));
	//d\|i,A\|i,B\|i
	red(ans*=qpow(deg,A*B-L));
	printf("%lld\n",mod(ans*qpow(A*B,P-2)));
   	return 0;
}

如果有问题再继续改！