题解 CF1762D【GCD Queries】

problem

交互题，评测机有一个排列 \(p:[int]\)，值域是 \([0,n)\)，现在可以询问 \(2n\) 次 \((x,y)\)，评测机回答 \(\gcd(p_x,p_y)\)，你需要回答 \(p\) 中 \(0\) 的两个可能的位置。

\(\gcd(x,0)=x\)，\(1\leq n\leq 10^4\)。

solution with \(4n\) queries

考虑固定死一个数，就 \(p_1\) 吧，询问它和其它所有数的 \(\gcd\)。将这些 \(\gcd\) 的 \(\operatorname{lcm}\) 拎出来，就是 \(p_1\)。

然后将所有 \(\gcd(p_1,p_i)=p_1\) 的数拎出来（包括 \(0\)），全部除以 \(p_1\)，开始递归。

复杂度分析：如果 \(p_1>1\) 那我们很开心得到一个询问 \(2n\) 次的算法（每次至少折半），但是如果 \(p_1=1\)…………

\[\huge{\text{寄}} \]

而且这样子，我们甚至可以唯一确定 \(0\) 的位置，不太好。

solution with \(2n\) queries

随机三个数 \(i,j,k\)，询问 \(x=\gcd(p_i,p_j),y=\gcd(p_i,p_k)\)，如果

• \(x=y\)，那么 \(p_i\neq 0\)。
• \(x>y\)，那么 \(p_k\neq 0\)（考虑当 \(p_k=0\) 时，\(\gcd(p_i,p_j)>p_i\)，这也太离谱了，一个数的约数不能大于他）。
• \(x<y\)，那么 \(p_j\neq 0\)。

每次用两次询问排除一个数，询问次数自然是 \(2n\)。

code

https://codeforces.com/contest/1762/submission/204571436

// LUOGU_RID: 109661417
#include <queue>
#include <numeric>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr,##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
int n;
int query(int x,int y){
	return printf("? %d %d\n",x+1,y+1),fflush(stdout),scanf("%d",&x),x;
}
void report(int x,int y){
	printf("! %d %d\n",x+1,y+1),fflush(stdout),scanf("%*d");
}
int mian(){
	vector<int> a(n);
	iota(a.begin(),a.end(),0);
	while(a.size()>=3){
		int x=a.back(); a.pop_back();
		int y=a.back(); a.pop_back();
		int z=a.back(); a.pop_back();
		int q1=query(x,y),q2=query(x,z);
		if(q1==q2) a.push_back(y),a.push_back(z);
		else if(q1>q2) a.push_back(x),a.push_back(y);
		else a.push_back(x),a.push_back(z);
	}
	report(a[0],a[1]);
	return 0;
}
int main(){
	for(scanf("%*d");~scanf("%d",&n);mian());
	return 0;
}