题解 ARC139D【Priority Queue 2】

problem

给定 \(n,m,k,x\)，给定了一个有 \(n\) 个元素的可重集合 \(a_i\in [1,m]\)，会进行 \(k\) 次如下操作：选择一个数 \(y\in[1,m]\) 加到 \(a\) 中，并把 \(a\) 中第 \(x\) 小的元素删除。

有 \(m^k\) 种情况，对于每种情况的价值定义为最后 \(a\) 集合的和，对于所有情况价值求和。

• \(1\le n,m,k\le 2000\)，\(1\le x\le n+1\)，\(1\le a_i\le m\)

solution \(O(n^3)\)

如果在删数的时候，不删掉它，而是给个标记，数 kth 的时候跳过，那么完成之后排序会发现打标记的地方是连续段，而且可以算出来。

考虑将最终状态拿出来，相同数字的放一起，强制将原来有的数放前面。然后 DP \(f/g(i,j)\) 表示放了 \(i\) 个数，填到数字 \(j\)，然后分别算出方案数和总和。

solution $O(n^2)

\(a_i\) 是最终序列：\(*=\textrm E[\sum_i a_i]=\boxed{\sum_x x\times \textrm E[\sum_i[a_i=x]]=\sum_x \textrm E[\sum_i[a_i\geq x]]}\) 这样就只用算 \(\geq x\) 的。

只看 \(a_i\geq x\) 的。假设当前有 \(c\) 个数满足 \(a_i\geq x\)。考虑操作：

• 选择一个数 \(y\in[1,m]\) 加到 \(a\) 中：有 \(p=1-\frac{x-1}{m}\) 的概率，使得 \(c\) 加一。
• 并把 \(a\) 中第 \(x\) 小的元素删除：当 \(n+1-c\geq X\) 时，删掉 \(<x\) 的一个数。所以，当 \(c>n+1-X\) 时，使得 \(c\) 减一。

初始时的 \(c\) 叫做 \(c_0\)，\(lim=n+1-X\)。枚举这 \(k\) 次操作中我们进行了 \(i\) 次加一，考虑最终的 \(c_k\)：

• 当 \(c_0\leq lim\) 时，\(lim\) 就像一个上界顶住了 \(c\)，所以 \(c_k=\min(lim,c_0+i)\)。
• 当 \(c_0>lim\) 时，加操作无用，考虑 \(k-i\) 个减，所以 \(c_k=\max(lim,c_0-(k-i))\)。

发生 \(i\) 次加一的概率是：\(p^i(1-p)^{k-i}\binom k i\)，乘上最终的 \(c_k\) 即可，全部加起来。

code

solution 1：https://atcoder.jp/contests/arc139/submissions/41154363

solution 2：https://atcoder.jp/contests/arc139/submissions/41156198（看了题解）

\(e^x=exp(x)=\sum_i \frac{x^i}{i!}\)