题解 AtCoder Beginner Contest 268 A~H

ABC268 solution

Author: caijianhong

A. Five Integers

题目描述

输入五个数，要求输出有多少个本质不同的数字被输入。

solution

print(len(set(input().split())))

B. Prefix?

题目描述

输入两个字符串 \(S,T\) 并判断 \(S\) 是否是 \(T\) 的一个前缀。

solution

string s, t;
cin >> s >> t;
cout << (t.find(s) == 0 ? "Yes" : "No") << endl;

C. Chinese Restaurant

题目描述

RobinChen 给你一个 \(n\) 阶排列 \(p\)，它的值域和定义域都是 \([0,n)\)。现在你可以对 \(p\) 做若干次循环位移，做完以后，最大化下式：

\[\sum_{j=0}^{n-1}[p_j=j\lor p_{(j-1)\bmod n}=j\lor p_{(j+1)\bmod n}=j]. \]

solution

考虑处理出每个循环位移的答案，发现一个 \(i\) 只会向三个地方作贡献。\(O(n)\)。

D. Unique Username

题目描述

有 \(n\) 个字符串 \(S_1, S_2, \cdots, S_n\) 和 \(m\) 个字符串 \(T_1, T_2, \cdots, T_m\)。你需要构造一个字符串 \(X\) 满足如下所有条件：

• \(3\leq |X|\leq 16\)。
• 不存在 \(1\leq i\leq m\) 使得 \(T_i=X\)。
• 存在 \(n\) 阶排列 \(p\) 和 \(n-1\) 阶正整数序列 \(x\) 使得 \(X=S_{p_1}+\texttt{'_'}\times x_1+S_{p_2}+\texttt{'_'}\times x_2+\cdots S_{p_n}\)，其中：
  • \(\texttt{'_'}\) 是下划线字符 _。
  • \((+)::String\to String\to String\) 定义为字符串的拼接。
  • \((\times)::String\to Int\to String\) 定义为 \(S\times 1=S,S\times x=S+S\times(x-1)\)。

solution

直接暴力 dfs 即可。\(O(n!)\) 外加巨大的常数，取决于具体实现，这里不展开。

E. Chinese Restaurant (Three-Star Version)

题目描述

RobinChen 给你一个 \(n\) 阶排列 \(p\)，它的值域和定义域都是 \([0,n)\)。现在你可以对 \(p\) 做若干次循环位移，做完以后，设 \(q_i\) 为满足 \(p_j=i\) 的 \(j\)，最小化下式：

\[\sum_{j=0}^{n-1}\min((q_j-j)\bmod n, (j-q_j)\bmod n). \]

solution

考虑处理出每个循环位移的答案，这形如区间加等差数列，做二阶差分即可。\(O(n)\)。

F. Best Concatenation

题目描述

RobinChen 给你 \(n\) 个字符串 \(S_i\)，这 \(S_i\) 的字符集是 \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X\}\)，然后 RobinChen 定义字符串 \(S\) 的价值 \(f(S)\) 为：

\[f(S)=\sum_{r=0}^9r\sum_{1\leq i<j\leq |S|}[S_i=X\land S_j=r]. \]

你需要将这 \(n\) 个字符串以适当的顺序拼接以最大化最终字符串的价值 \(f\)。

输入格式

solution

考虑一个字符串内部的贡献是可以轻易计算的。然后一个观察是可以将一个数字 \(x\) 展开成 \(x\) 个数字 \(1\)，明显不影响答案。故我们可以将问题变为有 \(n\) 对 \((a_i, b_i)\)，合理排序使得 \(\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ib_j\) 最大。考虑最终排列中的 \(i\) 和 \(i+1\)，现在他们之间的贡献是 \(a_ib_{i+1}\)，交换后的贡献是 \(a_{i+1}b_i\)，换句话说如果相邻两个数满足 \(a_{i+1}b_i>a_ib_{i+1}\implies \frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}>\frac{a_i}{b_i}\) 就要交换，这明显有良好的定义，于是按照 \(\frac{a_i}{b_i}\) 排序即可。\(O(n\log n)\)。

G. Random Student ID

题目描述

RobinChen 的 http://cplusoj.com/d/junior/ 新来了 \(n\) 个学生，每个学生都有自己的英文 ID，RobinChen 记第 \(i\) 个学生的英文 ID 为 \(S_i\)。

RobinChen 现在要为他们分配 cplusoj 的用户 ID。为了出题考察你，RobinChen 随机了字符串 abcdefghijklmnopqrstuvwxyz 的一种排列，然后定义两个字母的字典序比较， 如果 \(a\) 比 \(b\) 在 RobinChen 随机的排列中先出现，则 \(a\) 的字典序更小。然后对于两个字符串的比较，则是逐位比较，按照刚才说的比较方法比较。一个学生的用户 ID 定义为比他英文 ID 字典序小的学生个数加一。

因为 RobinChen 的排列是随机的，他想让你求出每个学生的用户 ID 的期望。

输入格式

solution

考虑到一个事情是对于两个不同的字符 \(x,y\)，\(x<y\) 的概率恰好是 \(\frac 1 2\)，因为 \(x>y\) 的概率和 \(x<y\) 的概率相等，同时没有 \(x=y\) 的情况。于是我们对所有学生的英文 ID 建 Trie 树，考虑在一个节点两个儿子互相的贡献。首先自己的所有祖先的字典序会比自己小，其次自己的祖先的其他儿子会有 \(\frac 1 2\) 的概率计入我自己的答案。于是直接 dfs 一遍计算即可。\(O(n)\)。

H. Taboo

题目描述

RobinChen 给你一个字符串 \(S\)，你需要在 \(S\) 中选择 \(k\) 个位置将他们改成 #。然后有 \(n\) 个字符串 \(T_1, T_2, \cdots, T_n\)。你需要使修改后的 \(S\) 不含有任何一个 \(T_i\) 作为 \(S\) 的子串。最小化 \(k\)。

solution

如果我们能处理出一个点 \(i\) 向前最短多少能和 \(T\) 匹配上，那么这个问题就变成了“给定 \(n\) 个区间，要求每个区间内至少种一棵树，求至少种多少棵树”。这是经典贪心问题，做法是按照一个端点排序（以右端点为例），从左向右，记录上一棵树在哪里，如果这个区间扫描到的时候已经满足要求则继续，否则在它的右端种上一棵树。那么怎么“处理出一个点 \(i\) 向前最短多少能和 \(T\) 匹配上”呢？使用 AC 自动机或者 SAM 或者 SA 即可。

codes

https://atcoder.jp/contests/abc268/submissions/me?f.Task=&f.LanguageName=&f.Status=AC&f.User=