题解 SP11198 【IPAD - Ipad Testing】

posted on 2021-06-02 20:59:42 | under 题解 | source

SP11198 是个神题，它考察了选手们的记忆、乱搞、找规律、压行能力。

本题题解是乱搞题解，没有证明。

下面就由我来解说一下：

第二问

重新读一下题，注意几个关键信息：

• \(\gcd(x,y)=1\)（互素）
• \(0<x,y\)（正整数）
• 有多少正整数不能表示为 \(ax+by\)？

好像什么时候做过？是的，这就是 P3951 [NOIP2017 提高组] 小凯的疑惑。所以，这一问答案是 \(x\times y-x-y\)。

第一问

好像没什么规律。

那我们写个程序看看：

//暴力求解第一问
//输出一个 1<=x,y<=10 的表格
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
bool vis[110];
int solve(int x,int y){//用 vis 标记能表示的数
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(int a=0;a<=y;a++){
        for(int b=0;a*x+b*y<=x*y-x-y;b++){
            vis[a*x+b*y]=1;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=x*y-x-y;i++) ans+=!vis[i];//统计不能表示的数
    return ans;
}
int gcd(int a,int b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int n=10;
int main(){
    printf(" ?");
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%3d",i);//输出行号
    //printf %3d 表示保留 3 位场宽
    puts("");
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%2d",i);//输出列号
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(gcd(i,j)==1) printf("%3d",solve(i,j));
            else printf("   ");//gcd!=1 就没有算的必要，都不合法
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

它的输出：

 ?  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
 1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
 2  0     1     2     3     4   
 3  0  1     3  4     6  7     9
 4  0     3     6     9    12   
 5  0  2  4  6    10 12 14 16   
 6  0          10    15         
 7  0  3  6  9 12 15    21 24 27
 8  0     7    14    21    28   
 9  0  4    12 16    24 28    36
10  0     9          27    36   

通过仔细观察，我们能找到一个规律：

\[\operatorname{solve}(i,j)=(i-1)\times (j-1)\div 2 \]

怎么证明这个公式？我不会，也不需要会。

为了后面压行，我们把公式因式分解一下：

\[\operatorname{solve}(x,y)=[(x\times y-x-y)+1]\div 2 \]

压行

英文题面有一句话：

O'Cearbhaill knew that neither the cydia store nor the app store has a decent text editor suitable for all programming languages, so he only accept programs less than equals to 100 characters in length.

大概就是说，你的代码长度必须 \(<100\;\texttt{B}\)。这也是你绑定了 SPOJ 账号却一直 waiting 的原因。

如果我们用 C++ 正常写，会写到 \(150\;\texttt{B}\)，甚至 \(200\;\texttt{B}\)。

所以我们不用 C++，用 C。

先了解几个 C 特性吧：

• 可以不 #include <stdio.h> 就使用 scanf/printf；
• int main 中 int 可省略；
• main() 里可以带参数当变量用，例如 main(a,b,c) 就是定义三个 int 变量叫 \(a,b,c\)，它们可以直接使用；
• return 0 可省略；
• gets(s) 中的 \(s\) 的类型可以不是 char*。

根据这些，我们可以写出我们的第一个代码：

#define c (1LL*a*b-a-b)//当变量用，注意 1e8*1e8 会爆，要 *1LL
main(t,a,b){
    scanf("%d",&t);
    while(t--) scanf("%d%d",&a,&b),printf("%lld %lld\n",c+1>>1,c);
}

不太优秀，我们还可以：

• \(c\) 的那个括号可以不要；
• 删去换行和空格；
• 把 while 改成 for。

#define c 1LL*a*b-a-b
main(t,a,b){for(scanf("%d",&t);t--;scanf("%d%d",&a,&b),printf("%lld %lld\n",c+1>>1,c));}

还是不行。

我们不难发现一个问题：\(t\) 其实是没用的！把 \(t\) 吃掉，直接回答询问回答到 EOF 就行了！

#define c 1LL*a*b-a-b
main(a,b){for(scanf("%*d");~scanf("%d%d",&a,&b);printf("%lld %lld\n",c+1>>1,c));}
//scanf("%*d") 表示读入一个数字，并丢弃它

这样已经很接近 \(100\;\texttt{B}\) 了，但还是不行。

再想一下：吃掉 \(t\)，实际上就是吃掉 \(t\) 所在的那一行！所以可以换成 gets！

但好像没有 char* 给我们传参诶……

不要紧！上面说了 gets 的参数类型可以不是 char*，可以是 int* 啊！

直接传 &a 就好了！

#define c 1LL*a*b-a-b
main(a,b){for(gets(&a);~scanf("%d%d",&a,&b);printf("%lld %lld\n",c+1>>1,c));}

\(99\;\texttt{B}\)，可以 AC。

这道题就做完了，注意现在提交 SPOJ 的题需要绑定 SPOJ 的账号。