题解 LGP8818【[CSP-S 2022] 策略游戏】

posted on 2022-10-30 20:49:17 | under 题解 | source

problem

长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，长度为 \(m\) 的数组 \(b\)。\(q\) 次博弈，每次博弈给出 \([l_1,r_1],[l_2,r_2]\)，Alice 可以选择一个 \(i\in[l_1,r_1]\)，Bob 在看到 Alice 的选择后可以选择一个 \(j\in[l_2,r_2]\)，最终游戏的得分为 \(a_ib_j\)。Alice 希望得分尽可能大，Bob 希望得分尽可能小，在他们都绝顶聪明的情况下，每次游戏的得分各是多少？

solution

我会暴力！枚举 Alice 和 Bob 选的数，那么答案是这个东西：

\[[*]=\max_i\{\min_j a_ib_j\}. \]

考虑优化它。假如我们有 \(0<x<y<z\)，如果 \(y\) 是一种决策，那么显然 \(x,z\) 其中之一会优于 \(y\)，那么 \(y\) 就没用了。负数也是一样的。综上，真正有用的决策只有 \(\min,\max_{x<0}x,0,\min_{x>0}x,\max\)，其它一定不会成为最优决策。

这五个值显然可以 RMQ，而枚举部分的复杂度也降为常数，于是直接暴力就可以了。

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int lg[100010];
template<int N,int D=1,class T=LL> struct STable{
	T f[21][N+10]; int cnt;
	STable():cnt(0){}
	void insert(T x){
		f[0][++cnt]=x*D;
		for(int j=1;1<<j<=cnt;j++){
			int i=cnt-(1<<j)+1;
			f[j][i]=min(f[j-1][i],f[j-1][i+(1<<(j-1))]);
		}
	}
	T query(int l,int r){
		int k=lg[r-l+1];
		return min(f[k][l],f[k][r-(1<<k)+1])*D;
	}
};
int n,m,q,sa[100010],sb[100010];
LL a[100010],b[100010];
STable<100010,1> tmin[4];
STable<100010,-1> tmax[4];
int main(){
	//freopen("game.in","r",stdin),freopen("game.out","w",stdout);
	lg[0]=-1; for(int i=1;i<=1e5;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		sa[i]=sa[i-1]+!a[i];
		tmin[0].insert(a[i]<0?a[i]:1e18);
		tmin[1].insert(a[i]>0?a[i]:1e18);
		tmax[0].insert(a[i]<0?a[i]:-1e18);
		tmax[1].insert(a[i]>0?a[i]:-1e18);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&b[i]);
		sb[i]=sb[i-1]+!b[i];
		tmin[2].insert(b[i]<0?b[i]:1e18);
		tmin[3].insert(b[i]>0?b[i]:1e18);
		tmax[2].insert(b[i]<0?b[i]:-1e18);
		tmax[3].insert(b[i]>0?b[i]:-1e18);
	}
	for(int l,r;q--;){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		LL pa[]={tmin[0].query(l,r),tmax[0].query(l,r),sa[r]-sa[l-1]?0:(LL)1e18,tmin[1].query(l,r),tmax[1].query(l,r)};
		scanf("%d%d",&l,&r);
		LL pb[]={tmin[2].query(l,r),tmax[2].query(l,r),sb[r]-sb[l-1]?0:(LL)1e18,tmin[3].query(l,r),tmax[3].query(l,r)};
		LL ans=-1e18;
		for(int i=0;i<5;i++){
			if(pa[i]==1e18||pa[i]==-1e18) continue;
			LL res=1e18;
			for(int j=0;j<5;j++){
				if(pb[j]==1e18||pb[j]==-1e18) continue;
				res=min(res,pa[i]*pb[j]);
			}
			ans=max(ans,res);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}