题解 LGP8805【[蓝桥杯 2022 国 B] 机房】

应该叫 "静态离线查询树链半群信息的一种并查集做法"

problem

一棵树，点上有一些满足结合律的信息，\(m\) 次询问求出一条链上的点权之“和”，允许离线。\(n,m\leq 10^5\)。

前置知识 1：Tarjan LCA

离线 dfs，做完一棵子树后将这棵子树的 \(fa\) 设为 \(u\)，然后看一下 \(u\) 的所有的询问，如果 \(v\) 被访问过，那么直接 \(find(v)\) 就是 \(lca\)。

void dfs(int u,int fa=0){
	vis[u]=1;
	for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
		int v=g[i].v; if(v==fa) continue;
		dfs(v,u),s.fa[v]=u;
	}
	for(int i=que.head[u];i;i=que.nxt[i]){
		int v=que[i].v;
		if(vis[v]) que[i].w=que[i^1].w=s.find(v);
	}
}

前置知识 2：带权并查集

一个并查集，额外维护一个 \(ans_x\) 表示 \(x\to fa_x\) 这条边的答案。路径压缩时更新 \(ans\)。

int find(int x){
		if(fa[x]==x) return x;
		int g=find(fa[x]);
		ans[x]+=ans[fa[x]];//现在 ans[fa[x]] 存了 fa[x]->g 的信息
		return fa[x]=g;
	}

solution

将这两个东西拼起来！

具体地，你维护一个带权并查集，边权是深度更深的点的点权。

求一遍 Tarjan LCA，这时候把询问挂在 LCA 上，回溯到 LCA 时，询问的 \(u\to v\) 可拆成 \((u\to lca)+(lca)+(lca\to v)\) 三段，都是带权并查集维护过的，拼起来就是了。

因为有 \(lca\to v\) 这一段，你很有可能需要同时维护向上和向下两个方向的权值。这是简单的。

复杂度：\(O(n\alpha(n))\) 乘上一次“加法”的复杂度。常数是并查集常数，很小（不会有人卡并查集吧？）

应用：有结合律和单位元的东西都可以用，不需要交换律，包括但不限于：\(\sum,\prod,\min,\max,\gcd\)，矩阵乘法，最大子段和，等等。通用的。搬到序列上貌似也可以。

example：[蓝桥杯 2022 国 B] 机房

其实是查询一条链的点权和，可以树上前缀和，但是我们要创新！

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr,##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
template<int N,class T> struct dsy{
	int fa[N+10],siz[N+10],cnt; T ans[N+10][2];
	dsy(int n=N):cnt(n){for(int i=1;i<=N;i++) fa[i]=i,siz[i]=1;}
	int find(int x){
		if(fa[x]==x) return x;
		int g=find(fa[x]);
		ans[x][0]=ans[x][0]+ans[fa[x]][0];
		ans[x][1]=ans[fa[x]][1]+ans[x][1];
		return fa[x]=g;
	}
	T query(int x,int k){return find(x),ans[x][k];}
}; 
template<int N,int M,class T=int> struct graph{
    int head[N+10],nxt[M*2+10],cnt;
    struct edge{
        int u,v;T w;
        edge(int u=0,int v=0,T w=0):u(u),v(v),w(w){}
    } e[M*2+10];
    graph(){memset(head,cnt=0,sizeof head);}
    edge&operator[](int i){return e[i];}
    void add(int u,int v,T w=0){e[++cnt]=edge(u,v,w),nxt[cnt]=head[u],head[u]=cnt;}
    void link(int u,int v,T w=0){add(u,v,w),add(v,u,w);}
};
int n,m,ret[100010],a[100010];
bool vis[100010],svd[100010];
graph<100010,100010> g,que,sol;
dsy<100010,int> s;
void dfs(int u,int fa=0){
	vis[u]=1;
	for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
		int v=g[i].v; if(v==fa) continue;
		dfs(v,u),s.fa[v]=u,s.ans[v][0]=s.ans[v][1]=a[v];
	}
	for(int i=que.head[u];i;i=que.nxt[i]){
		int v=que[i].v,id=que[i].w; if(!vis[v]||svd[id]) continue;
		sol.add(s.find(v),u,id),svd[id]=1;
	}
	for(int i=sol.head[u];i;i=sol.nxt[i]){
		int id=sol[i].w,x=que[id*2-1].u,y=que[id*2-1].v;
		ret[id]=s.query(x,0)+a[u]+s.query(y,1);
	}
}
int main(){
//	#ifdef LOCAL
//	 	freopen("input.in","r",stdin);
//	#endif
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),g.link(u,v),a[u]++,a[v]++;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d",&u,&v),que.link(u,v,i);
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ret[i]);
	return 0;
}

example：[CSP-S 2022] 数据传输

转移矩阵略。那么变成维护矩阵乘法乘积。\(O(k^3\alpha(n)n)\)。