题解 P3426 【[POI2005]SZA-Template】

posted on 2022-10-22 15:46:31 | under 题解 | source

problem

字符串 $S$ 长为 $n$，对于每个前缀，求能盖出这个前缀的最小的印章长度。

solution

令 $fai{l}_i$ 为 KMP 的最长的 Border 的长度。考虑其定义，那么 $[1,fai{l}_i]=(i-fai{l}_i,n]$，且这是一段前缀。

令 $f_i$ 表示能盖出前缀 $i$ 的最短的印章，令 $la{s}_i$ 表示前缀 $i$ 作为印章能盖得最远的地方（另一个定义：$\underset{i}{max}[f_{la{s}_i}=i]\cdot i$），令 $an{s}_i$ 表示有多少个印章能盖出前缀 $i$。

注意：如果印章 $i$ 能盖出一段前缀，则这个印章是这段前缀的 Border。

开始转移，从 $fai{l}_i$ 那里，如果 $la{s}_{f_{fai{l}_i}}\in (i-fai{l}_i,i)$ 那么可以转移。相当于，$[1,la{s}_{f_{fai{l}_i}}]$ 这一段可以被 $f_{fai{l}_i}$ 盖出，由定义得 $[1,fai{l}_i]=(i-fai{l}_i,i]$ 亦能被 $f_{fai{l}_i}$ 盖出。这两部分重叠，所以 $[1,i]$ 可以被 $f_{fai{l}_i}$ 盖出。

直接转移即可。

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
void kmp(char *s,int fail[]){
	int n=strlen(s+1); fail[1]=0;
	for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
		while(j&&s[j+1]!=s[i]) j=fail[j];
		j+=s[j+1]==s[i];
		fail[i]=j;
	}
}
int n,f[500010],las[500010],fail[500010];
char s[500010];
int dp(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=i;
		if(las[f[fail[i]]]>=i-fail[i]) f[i]=f[fail[i]];
		las[f[i]]=i;
	}
	return f[n];
}
int main(){
//	#ifdef LOCAL
//	 	freopen("input.in","r",stdin);
//	#endif
	scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1),kmp(s,fail),printf("%d\n",dp());
	return 0;
}