题解 NOD2207C【不降序列】

problem

给出 n 个数组 A1​ 到 An​ ，数组中的元素为 1 到 M 之间的数字。

数组之间也存在字典序，即从第一个数开始逐位比较，一旦某个数字大于另一个，则数组的字典序大于另一个，如果某一个是另一个的前缀，则前缀的字典序更小。

你可以选择一些大于 0 的数字执行减法操作，一旦选中某个数字 k ，则从 A1​ 到 An​ 中，所有的数字 k 都要被减掉 M，即变成 k−M，并且只能对于正数执行减法操作。

问能否通过这样的操作，使得这 n 个数组的字典序是不下降的（可以相等）。

solution

以下是显然无解的情况，请特判：

[1 2 3]
[1 2]

观察一些性质：

• 如果 \(A_{11}>A_{21}\)，那么必然是 \(A_{11}\) 被减而 \(A_{21}\) 不被减。
• 如果 \(A_{11}<A_{21}\)，除了 \(+A_{11}\land -A_{21}\) 外其他都行。

以下就有很多种做法：

solution 1：2-sat

每个点拆成两个点表示被减（\(-x\)） 和不被减（\(+x\)），除此之外还有超级源 \(S\)。

对于两个相邻的数组，找到第一个不相同的，记为 \(u,v\)。

• 如果 \(u<v\) 那么 \(+u\to +v,-v\to -u\)。
• 如果 \(u>v\) 那么 \(S\to-u,S\to+v\)。

建出来一个图。我们强制选 \(S\)，看一下 \(S\) 能选到的有没有矛盾（即同时选到 \(-x\) 和 \(+x\)）。如果有就无解。

否则，\(S\) 所指示的数字该减就减，该加就加，和 \(S\) 不联通的直接不管。

solution 2：建 DAG

对于两个相邻的数组，找到第一个不相同的，记为 \(u,v\)。然后 \(u\to v\)。

如果建出来的图有环，无解。

注意到对于一条 DAG 上的链，我们把这些数字的符号拿出来，那么就是说 \(u>v\) 时符号必须由负变为正，\(u<v\) 时符号不能减少。

也就是 \(u>v\) 的边，要满足 \(v\) 以后全是正数，\(u\) 往上全是负数。其他没提到的点默认为负。

solution 3：随机化

我们放弃图论。按列考虑这些数组，有个结论是：删除的必然是一段前缀（否则必然不满足条件）。所以有两个大于号的就无解。

考虑第二列，按照 \(A_{i1}\) 相同的分开，继续处理。

问题是如果 \(A{i1}\) 合法，那么不知道删什么。

随机化：继续往下，每次到要删除的时机，退回到 \(A_{i1}\) 从头来过。

听说 100 次能过。

code

solution 2

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <numeric>
#include <algorithm>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr,##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
template<int N> struct dsu{
	int fa[N+10],siz[N+10],cnt;
	dsu(int n=N):cnt(n){iota(fa+1,fa+n+1,1),fill(siz+1,siz+n+1,1);}
	int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
	void merge(int x,int y){if(x=find(x),y=find(y),x!=y) cnt--,siz[x]<siz[y]&&(swap(x,y),0),siz[fa[y]=x]+=siz[y];}
};
int n,m,deg[1<<16],S,col[1<<16],key[1<<16],f[1<<16];
vector<int> a[1<<16],g[1<<16];
queue<int> q;
dsu<1<<17> s;
bool toposort(){
	for(int i=1;i<=m;i++) for(int v:g[i]) deg[v]++;
	for(int i=1;i<=m;i++) if(!deg[i]) q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front(); q.pop();
		for(int v:g[u]){
			//u 是正数，u+n 是负数
			if(u>v) col[v]=1,key[u]=1;
			else col[v]|=col[u];
			if(--deg[v]==0) q.push(v);
		}
	}
	return *min_element(deg+1,deg+m+1)||*max_element(deg+1,deg+m+1);
}
bool kly=0;
bool dfs(int u){
	if(~f[u]) return f[u];
	f[u]=key[u];
	for(int v:g[u]) f[u]|=dfs(v);
	if(f[u]) kly|=col[u];
	return f[u];
}
int main(){
	#ifdef LOCAL
	 //	freopen("22.in","r",stdin);
	 //	freopen("log.out","w",stderr);
	#endif
	scanf("%d%d",&n,&m),S=m<<1|1;
	for(int i=1,k;i<=n;i++){
		scanf("%d",&k);
		a[i]=vector<int>(k);
		for(int&x:a[i]) scanf("%d",&x);
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int j=0,lim=min(a[i-1].size(),a[i].size());
		while(j<lim&&a[i-1][j]==a[i][j]) j++;
		//最多两倍时间
		if(j<lim) g[a[i-1][j]].push_back(a[i][j]);
		else if(a[i-1].size()>a[i].size()) return puts("No"),0;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int v:g[i]) debug("%d %d\n",i,v);
	}
	if(toposort()) return debug("fuck"),puts("No"),0;
	memset(f,-1,sizeof f);
	for(int i=1;i<=m;i++) dfs(i);
	if(kly) return debug("sewoifhqoigiwueg"),puts("No"),0;
	puts("Yes");
	vector<int> dest;
	for(int i=1;i<=m;i++) if(!col[i]) dest.push_back(i);
#ifdef LOCAL
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int v:g[i]) assert(i-!col[i]*m<v-!col[v]*m);
	}
#endif
	printf("%zu\n",dest.size());
	for(int x:dest) printf("%d ",x); puts("");
	return 0;
}