题解 HDU4035 【Maze】

SHY 在一棵树上随机游走，从根节点出发，每次有

k_{u}

的几率回到根节点，

e_{u}

的几率到达出口，否则随机选择一个与它相连的节点并走过去，求期望多少步能走到出口。

1 \leq n \leq 10^{4}

。

posted on 2022-08-17 12:33:51 | under 题解 | source

problem

https://vjudge.net/problem/HDU-4035

在一棵树上随机游走，从根节点出发，每次有 $k_{u}$ 的几率回到根节点， $e_{u}$ 的几率到达出口，否则随机选择一个与它相连的节点并走过去，求期望多少步能走到出口。 $1 \leq n \leq 10^{4}$ 。

solution

令根为 $1$ ， $t_{u} = 1 - k_{u} - e_{u}$ ，记 $f_{u}$ 表示从点 $u$ 出发走到出口的期望步数， $p$ 为 $u$ 的父亲， $v$ 为 $u$ 的儿子， $d$ 为点 $u$ 的度数。显然有：

\begin{aligned} f_{u} & = k_{u} \times f_{1} + t_{u} \times \sum_{v \in s o n (u)} d^{- 1} (f_{v} + 1) + t_{u} \times d^{- 1} (f_{p} + 1) \\ = k_{u} \times f_{1} + t_{u} \times d^{- 1} \times (f_{p} + 1 + \sum_{v \in s o n (u)} (f_{v} + 1)) \\ = k_{u} \times f_{1} + t_{u} \times d^{- 1} \times f_{p} + t_{u} \times d^{- 1} \times \sum_{v \in s o n (u)} f_{v} + t_{u} \end{aligned}

我们发现这个式子有后效性，那么当然不能打高斯消元，考虑令 $f_{u} = a_{u} \times f_{1} + b_{u} \times f_{p} + c_{u}$ 。分类讨论：对于一片叶子，显然有 $a_{u} = k_{u}, b_{u} = c_{u} = t_{u}$ 。

对于非叶子节点 $u$ ，我们考虑拆掉 $\sum_{v \in s o n (u)} f_{v} = f_{1} \times \sum a_{v} + f_{u} \times \sum b_{v} + \sum c_{v}$ 。

\begin{aligned} f_{u} & = k_{u} \times f_{1} + \frac{t_{u}}{d} \times f_{p} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum_{v \in s o n (u)} f_{v} + t_{u} \\ = k_{u} \times f_{1} + \frac{t_{u}}{d} \times f_{p} + \frac{t_{u}}{d} \times (f_{1} \times \sum a_{v} + f_{u} \times \sum b_{v} + \sum c_{v}) + t_{u} \\ = (k_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum a_{v}) \times f_{1} + \frac{t_{u}}{d} \times f_{p} + (\frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}) \times f_{u} + (t_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum c_{v}) \end{aligned}

接下来是点睛之笔：把 $f_{u}$ 项移到等式左边！

\begin{aligned} f_{u} & = (k_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum a_{v}) \times f_{1} + \frac{t_{u}}{d} \times f_{p} + (\frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}) \times f_{u} + (t_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum c_{v}) \\ f_{u} - (\frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}) \times f_{u} & = (k_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum a_{v}) \times f_{1} + \frac{t_{u}}{d} \times f_{p} + (t_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum c_{v}) \\ (1 - \frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}) \times f_{u} & = (k_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum a_{v}) \times f_{1} + \frac{t_{u}}{d} \times f_{p} + (t_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum c_{v}) \end{aligned}

将 $1 - \frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}$ 作为分母移过去，我们终于得到：

\begin{aligned} a_{u} & = \frac{k_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum a_{v}}{1 - \frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}} \\ b_{u} & = \frac{t_{u} \times d^{- 1}}{1 - \frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}} \\ c_{u} & = \frac{t_{u} + \frac{t_{u}}{d} \times \sum c_{v}}{1 - \frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v}} \end{aligned}

这里的每一项都只和 $u, v$ 有关，可以做树型 DP 了！自底向上更新 $a_{u}, b_{u}, c_{u}$ 即可。我们其实并不需要计算 $f_{u}$ 。

最终的答案是 $f_{1} = a_{1} \times f_{1} + c_{1}$ ，可化简为 $f_{1} = \frac{c_{1}}{1 - a_{1}}$ 。

什么时候会无解呢？分母是 $0$ 的时候。

$d = 0$ 根本除不动（？？？？？）
计算过程中 $1 - \frac{t_{u}}{d} \times \sum b_{v} = 0$ ，寄。
最终 $a_{1} = 1$ ，相减又得 $0$ ，寄。

那么我们可以写代码了。

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double eps=1e-9;
template<int N,int M,class T=int> struct graph{
    int head[N+10],nxt[M*2+10],cnt;
    struct edge{
        int u,v;T w;
        edge(int u=0,int v=0,T w=0):u(u),v(v),w(w){}
    } e[M*2+10];
    graph(){memset(head,cnt=0,sizeof head);}
    edge operator[](int i){return e[i];}
    void add(int u,int v,T w=0){e[++cnt]=edge(u,v,w),nxt[cnt]=head[u],head[u]=cnt;}
    void link(int u,int v,T w=0){add(u,v,w),add(v,u,w);}
};
int n,deg[10010];
double a[10010],b[10010],c[10010],k[10010],t[10010];
graph<10010,10010> g;
int dfs(int u,int fa){
	if(deg[u]==1&&fa) return a[u]=k[u],b[u]=c[u]=t[u],1;
    //			^~~~ important!
	double sa=0,sb=0,sc=0;
	for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
		int v=g[i].v; if(v==fa) continue;
		if(!dfs(v,u)) return 0;
		sa+=a[v],sb+=b[v],sc+=c[v];
	}
	double del=t[u]/deg[u],tmp=1-del*sb;
	if(fabs(tmp)<eps) return 0;
	a[u]=(k[u]+del*sa)/tmp;
	b[u]=del/tmp;
	c[u]=(t[u]+del*sc)/tmp;
	return 1;
}
int mian(){
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),g.link(u,v),deg[u]++,deg[v]++;
	for(int u=1;u<=n;u++) scanf("%lf%lf",&k[u],&t[u]),k[u]/=1e2,t[u]/=1e2,t[u]=1-t[u]-k[u];
	if(dfs(1,0)&&fabs(1-a[1])>eps) printf("%.6lf\n",c[1]/(1-a[1]));
	else puts("impossible"); 
	return 0;
}
void reset(){
	static int ccf=0;
	printf("Case %d: ",++ccf);
	memset(a,0,sizeof a);
	memset(b,0,sizeof b);
	memset(c,0,sizeof c);
	memset(k,0,sizeof k);
	memset(t,0,sizeof t);
	memset(deg,0,sizeof deg);
	memset(g.head,g.cnt=0,sizeof g.head); 
}
int main(){
//	#ifdef LOCAL
//	 	freopen("input.in","r",stdin);
//	#endif
	for(scanf("%*d");~scanf("%d",&n);reset(),mian());
	return 0;
}