题解 CF678D【Iterated Linear Function】

暴力解法。

problem

\[g^{(n)}(x)=\begin{cases} x,&(n=0).\\ f(g^{(n-1)}),&(n>0). \end{cases}\]

其中 \(f\) 是一次函数。给出 \(f\) 的表达式与 \(n,x\)，求 \(g^{(n)}(x)\)。\(n\leq 10^{18}\)，答案对 \(P\) 取模。

solution

对于两个整式（这里指单项式与多项式的合称） \(f,g\)，我们定义它们的复合 \((f*g)(x)=f(g(x)).\) 其中 \(*\) 是我们自己定义的对于两个整式的二元运算。

则 \(g^{(n)}=f*g^{(n-1)}=f*f*g^{(n-2)}=\cdots=\begin{matrix}n\text{ 个 }f\\\overbrace{f*f*\cdots*f}*id\end{matrix}.\) 其中 \(id(x)=g^{(0)}(x)=x.\)
我们注意到 \(f,h\) 都是一次函数，这非常方便。

下面证明：

两个一次函数复合后仍为一次函数。

证明 令 \(f(x)=kx+b,g(x)=k'x+b'\)，则 \(f*g=f(g(x))=k(k'x+b)+b'=(k\cdot k')x+(kb+b').\)

整式的复合具有结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)。

证明 \(LHS=RHS=f(g(h(x))).\)

\(*\) 运算的单位元是 \(id\)。

证明 \((f*id)(x)=f(id(x))=f(x),(id*f)(x)=id(f(x))=f(x).\)

因为 \(*\) 有单位元和结合律，于是我们可以用一种类似于快速幂的方法，求出 \(f\) 自己复合自己 \(n\) 次后的结果，代入 \(x\) 即可。\(O(\log n)\)。

因为快速幂只依赖于一个单位元和结合律，这也是矩阵快速幂可行所在。若将文中 \(f\) 换为矩阵，也可以用这样的方法分析出快速幂的正确性。

code

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typedef long long LL;
const int P=1e9+7;
struct func{
	LL k,b;
	func(LL k=1,LL b=0):k(k),b(b){}
	func operator*(func g){
		//k(k'x+b')+b
		return func(k*g.k%P,(k*g.b+b)%P);
	}
	LL operator()(LL x){return (k*x+b)%P;}
};
template<class T> T qpow(T a,LL b){
	T r=func(1,0);
	for(;b;a=a*a,b>>=1) if(b&1) r=r*a;
	return r;
}
LL n,A,B,x;
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&n,&x);
	printf("%lld\n",qpow(func(A,B),n)(x));
	return 0;
}