题解 CF1762E【Tree Sum】

problem

根据 prufer 引理，有标号的无根树的种类是 \(n ^ {n-2}\)。
对于一棵 n 个节点的带权无根树，边权总是 +1 或者 -1。那么总共有 \(n^ {n-2} * 2 ^ {n-1}\) 种树。
其中，如果每个点相连的边的权重的乘积都是 -1 的话，我们说这是一棵美丽树。

然后问，所有 N 个节点的美丽树中，1 到 n 的距离 \(d_{1,n}\) 的和。五十万。

solution

定理一

若 \(n\) 为奇数，则答案为 \(0\)。

证明

考虑在实数域中 \(x^2\geq 0\)，但是如果你算一下奇数时所有边的乘积开个平方，这相当于 \((-1)^n\)，然而它 \(<0\)。

接下来只考虑 \(n\) 为偶数，

定理二

若树的形态固定，则边权也是固定的。

构造

考虑找到一片叶子，因为叶子只有一条边，所以直接给那条边赋权，然后砍掉叶子，继续递归。

定理三

对于一条边，如果它左边有 \(L\) 个点，右边有 \(R\) 个点：

• \(L,R\) 奇偶性相同。
• 这条边的权值为 \((-1)^L=(-1)^R\)。

证明

归纳很容易的。

其实我们考虑一棵树，我们不妨抽象一点用 \(w_u\) 表示 \(u\to fa_u\) 的边的权值，它是 \(-\prod_v w_v\)，我们换种运算：\(1+\sum_v w_v \pmod 2\)，原来是子树大小和。

定理四

对每条边分开考虑。考虑一条边在 \(1\to n\) 路径上的充要条件：\(1,n\) 各在它们两端。

故答案为 \(\sum_{1\leq i<n}(-1)^i\binom{n-2}{i-1}f(i)f(n-i)\)，其中 \(f(n)=n^{n-1}\) 是 \(n\) 个点有标号有根树的数量。