题解 CF1517G 【Starry Night Camping】

posted on 2022-10-08 22:03:07 | under 题解 | source

神仙 min-cut，果然，flow 题的难点是想到 flow，非 flow 题的难点是不要想到 flow。

problem

平面直角坐标系上 \(n\) 个整点带权，删除一些点，使得不存在四个点 \(v,v_1,v_2,v_3\) 满足：

• \(v\) 的横纵坐标均为偶数；
• \(v\) 与 \(v_1,v_2,v_3\) 的切比雪夫距离（两维距离之差最大值） \(dist(v,v_1)=1,dist(v,v_2)=1,dist(v,v_3)=1\)；
• \(v,v_1,v_2,v_3\) 四点组成的平行四边形（或正方形）有一边与 \(x\) 轴平行。

求删除的点的最小权值和。\(n\leq 10^3\)。

solution

• 将整点按照横纵坐标奇偶性分四类，则 \(v,v_1,v_2,v_3\) 中各含有一类点；
• 发现 \((odd,even)\to(even,even)\to(even,odd)\to(odd,odd)\) 与题述四边形一一对应。
• 建立最小割模型，随便搞一下即可。将点按照奇偶分为四列排成四排，按照 \((odd,even)\to(even,even)\to(even,odd)\to(odd,odd)\) 连接无穷大的边，同时每个点拆成入点和出点，中间连上自己的权值。

不难发现这个东西对，但它是怎么想出来的呢？第一是要知道奇偶分类，考虑刻画路径（不要搞成环）转化为最小割。第二，考虑到与 \(x\) 轴平行的条件，那么 \((0,0),(1,0)\) 和 \((1,1),(0,1)\) 这两对必须相邻。第四，确定了平行于 \(x\) 轴的两边之后，要考虑中间怎么连。如果中间连了条斜线，有可能两端直接跨出去了，不满足条件。剩下的合法路径大概只有 \(10\to00\to01\to11,00\to10\to11\to01\) 以及它们的翻转等各种形态。

code

#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
template<int N,int M,class T=int> struct graph{
    int head[N+10],nxt[M*2+10],cnt,tot;
    struct edge{
        int u,v;T w;
        edge(int u=0,int v=0,T w=0):u(u),v(v),w(w){}
    } e[M*2+10];
    graph(){memset(head,tot=cnt=0,sizeof head);}
    edge& operator[](int i){return e[i];}
    void add(int u,int v,T w=0){e[++cnt]=edge(u,v,w),nxt[cnt]=head[u],head[u]=cnt;}
    void link(int u,int v,T w=0){add(u,v,w),add(v,u,w);}
};
template<int N,int M,class T=int> struct maxflow:public graph<N,M,T>{
	graph<N,M,T> &g=*this;
	int cur[N+10],dep[N+10]; bool vis[N+10];
	maxflow(){g.add(0,0,0);}
    int insert(int u,int v,T w){return g.add(u,v,w),g.add(v,u,0),g.cnt-1;}
	bool bfs(int s,int t){
		queue<int> q;
	    memset(dep,0,sizeof dep);
	    memcpy(cur,g.head,sizeof cur);
	    for(q.push(s),dep[s]=1;!q.empty();){
	        int u=q.front();q.pop(); 
	        for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
	            int v=g[i].v;
	            if(!g[i].w||dep[v]) continue;
	            q.push(v),dep[v]=dep[u]+1;
	        }
	    }
	    return dep[t];
	}
	T dfs(int u,T flow,int t){
	    if(u==t||!flow) return flow;
	    T rest=flow;
	    for(int &i=cur[u];i;i=g.nxt[i]){
	        int v=g[i].v;
	        if(!g[i].w||dep[v]!=dep[u]+1) continue;
	        if(T ans=dfs(v,min(rest,g[i].w),t)){
	            g[i].w-=ans,g[i^1].w+=ans;
	            rest-=ans;
	            if(!rest) break;
	        }
	    }
	    if(flow==rest) dep[u]=0;
	    return flow-rest;
	}
	T dinic(int s,int t,T inf=1e9){
	    T flow=0;
	    while(bfs(s,t)) flow+=dfs(s,inf,t);
	    return flow;
	}
};
//template<int N,int M,class T=int> struct maxflow:graph<N,M,T>{
//	graph<N,M,T> &g=*this;
//	maxflow(){g.add(0,0);}
//	void insert(int u,int v,T w){g.add(u,v,w),g.add(v,u,0);}
//	int dis[N+10],hbf[N+10];
//	bool bfs(int s,int t){
//		queue<int> q;
//		memset(dis,0x3f,sizeof dis);
//		for(q.push(s),dis[s]=0;!q.empty();){
//			int u=q.front();q.pop();
//			for(int i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
//				int v=g[i].v;
//				if(g[i].w&&dis[v]>dis[u]+1){
//					dis[v]=dis[u]+1;
//					q.push(v);
//				}
//			}
//		}
//		return dis[t]<1e9;
//	}
//	T dfs(int u,int t,T flow){
//		if(u==t||!flow) return flow;
//		T rest=flow;
//		for(int &i=g.head[u];i;i=g.nxt[i]){
//			int v=g[i].v;
//			if(dis[u]+1!=dis[v]||!g[i].w) continue;
//			if(T res=dfs(v,t,min(rest,g[i].w))){
//				g[i].w-=res;
//				g[i^1].w+=res;
//				rest-=res;
//				if(!rest) break;
//			}
//		}
//		if(flow==rest) dis[u]=1e9;
//		return flow-rest;
//	}
//	T dinic(int s,int t,T inf=1e9){
//		T flow=0;
//		memcpy(hbf,g.head,sizeof hbf);
//		while(memcpy(g.head,hbf,sizeof hbf),bfs(s,t)){
//			while(T f=dinic(s,t,inf)) flow+=f;
//		}
//		return flow;
//	}
//};
int n,x[20010],y[20010],typ[20010],inn[20010],out[20010],S,T;
int dist(int i,int j){return max(abs(x[i]-x[j]),abs(y[i]-y[j]));}
maxflow<40010,400010,LL> g;
LL sum;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,v;i<=n;i++){
		scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&v);
		inn[i]=++g.tot,out[i]=++g.tot;
		g.insert(inn[i],out[i],v);
		typ[i]=(x[i]&1)<<4|(y[i]&1);
		sum+=v;
	}
	S=++g.tot,T=++g.tot;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(dist(i,j)!=1) continue;
			if(typ[i]==0x10&&typ[j]==0x00) g.insert(out[i],inn[j],1e18);
			if(typ[i]==0x00&&typ[j]==0x01) g.insert(out[i],inn[j],1e18);
			if(typ[i]==0x01&&typ[j]==0x11) g.insert(out[i],inn[j],1e18);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(typ[i]==0x10) g.insert(S,inn[i],1e18);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(typ[i]==0x11) g.insert(out[i],T,1e18);
	printf("%lld\n",sum-g.dinic(S,T,1e18));
	return 0;
}

review

并没有想到这个路径表示图形的方法。。。

扩展：平行于 \(y\) 轴：\((even,odd)\to(even,even)\to(odd,even)\to(odd,odd)\)。

T dinic(int s,int t,T inf=1e9){
		T flow=0;
		memcpy(hbf,g.head,sizeof hbf);
		while(memcpy(g.head,hbf,sizeof hbf),bfs(s,t)){
			while(T f=dinic(s,t,inf)) flow+=f;
//					  ^~~~~
		}
		return flow;
	}