题解 AGC059C【Guessing Permutation for as Long as Possible】

problem

小明有一个隐藏的排列 \(p\)，小红想要猜出来。

现在允许小红提问，每次提问的形式是 \(a_i\) 和 \(b_i\)，然后小明会告诉小红谁大谁小。

小红是个老实的人，她的询问顺序已经提前被小明套出来了，即小明知道小红心里对 \(n * (n-1) / 2\) 种可能询问的预期猜测顺序。

而且他也知道小红虽然老实，但不是笨蛋，如果某一次询问可以通过前面的结果推导出来，她就会跳过这个询问。

给定 \(n* (n-1) / 2\) 个按顺序的提问，问有多少种排列 \(p\)，可以使得小红老老实实做出所有提问。

solution

第一步是强制定向：使 \(a_i<b_i\)。

然后是一个引理：只需要考虑三个元素的 “链”。（这个是最难的地方）

• 如果有一条很长的链 \(a\to b\to c\to\cdots\to z\)，然后询问了 \(a\to z\)。
• 你拎出前三个点 \(x,y,z\)，假如询问 \((x,y)\) 的时间戳是 \(v_{x,y}\)。
• 那么如果 \(v_{x,z}>max\{v_{x,y},v_{y,z}\}\)，则 \(x,y,z\) 不合法。否则可以删掉 \(y\)。

于是我们很开心的取三个下标 \(1\leq i<j<k\leq n\)，然后大力的分讨。

• 结论一：一共只有 \((i,j),(j,k),(i,k)\) 有用。记按时间顺序的询问依次为 \(x,y,z\)。
• 结论二：按时间的前两个询问的顺序没啥用。
• 当 \(z=(i,j)\) 是最后一个询问时，它生效的条件是 \(p_j<p_k,p_i<p_k\) 或 \(p_j>p_k,p_i>p_k\)，简称 \(x,y\) 同向。
• 当 \(z=(j,k)\) 是最后一个询问时，对称，\(x,y\) 同向。
• 当 \(z=(i,k)\) 是最后一个询问时，它生效的条件是 \(p_i<p_j>p_k\) 或者反过来，简称 \(x,y\) 异向。

这意味着我们枚举三个点之后，会有一些形如 “我无条件地钦定某两个询问的回答要相同或者不同” 的东西，我们先不管环的问题，我们用种类并查集，拆点连一下，然后发现如果有环，就相当于是 \(p_i<p_j\) 推出了 \(p_i>p_j\)。

最终的答案，每个连通块都有唯一的另一个与它对称，且只能二选一，所以 \(2^{\text{全局连通块个数}/2}\)。