如何在复数域或模素数域下找单位根

如何在复数域或模素数域下找单位根

参考文章：CF1103E Radix sum - 洛谷专栏、数学小记 #3：从 CF1103E 浅谈异或卷积 - 洛谷专栏。

复数域

可以使用 polar(1, 2 * pi / m) 获得复数域下的 $m$ 次本原单位根。需要慎重使用这样的单位根。

模素数域（素数自选）

如果有素数 $p$ 和正整数 $m$ 满足 $m|(p-1)$，则可以在 ${\mathbb{F}}_p$ 下找到 $m$ 次本原单位根（即原根的 $(p-1)/m$ 次方）。

洛谷原根模板题太恶臭了，在这里放一下求原根的代码：

// mint 是 F_p 下的数，代码求出 p 的最小原根
mint pmroot() {
  vector<int> pri;
  int m = mint::mod - 1;
  for (int i = 2; i * i <= m; i++) if (m % i == 0) {
    pri.push_back(i);
    while (m % i == 0) m /= i;
  }
  if (m > 1) pri.push_back(m);
  m = mint::mod - 1;
  for (mint g = 1; ; g += 1) {
    bool flag = false;
    for (int p : pri) {
      if (qpow(g, m / p) == 1) flag = true;
    }
    if (!flag) return g;
  }
  throw -1;
}

模素数域

若 $m$ 极小，则可以扩域维护每个数为 $f_0+f_{1}w+f_2{w}^2+\cdots +f_{m-1}{w}^{m-1}$ 的形式，最后将这个多项式模 $m$ 级分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_m(w)$ 获得真实值。

分圆多项式

$m$ 级分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_m(x)$ 是一个在 $\mathbb{Z}[x]$ 上 $\phi (m)$ 次的不可约首一多项式，满足

$${\mathrm{\Phi }}_n(x)=(x-w_1)(x-w_2)\cdots (x-w_{\phi (n)})=\prod _{i=0}^{n-1}(x-w^i{)}^{[gcd(i,n)=1]}$$

其中 $w_1,w_2,\cdots ,w_{\phi (n)}$ 是全部 $n$ 次本原单位根，$w$ 在 $w_1,w_2,\cdots ,w_{\phi (n)}$ 中任取。根据一些资料可以得知：

$$\prod _{d|n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)=x^n-1$$

$${\mathrm{\Phi }}_n(x)=(-1{)}^{[n=1]}\prod _{d|n}(1-x^d{)}^{\mu (n/d)}$$

void init() {  // k 次分圆多项式，次数为 phi[k]
  T[0] = 1;
  for (auto i : d[k]) {  // d[k] 是 k 的所有因子
    if (mu[k / i] == 1)
      for (int j = phi[k]; j >= i; j--) T[j] -= T[j - i];
    else if (mu[k / i] == -1)
      for (int j = i; j <= phi[k]; j++) T[j] += T[j - i];  // 实际上是退背包
  }
}