一个和莫比乌斯反演有关的东西

一个和莫比乌斯反演有关的东西

数论柿子题的发现 - 博客 - masterhuang的博客

以下会用到两个作用于函数的算子 $\mathrm{\Sigma },\mathrm{\Delta }$ 的定义分别是 $\mathrm{\Sigma }f(n)=\mathrm{\Sigma }f(n-1)+f(n)$（前缀和），$\mathrm{\Delta }f(n)=f(n)-f(n-1)$（差分）。这个记号和《具体数学》上有限微积分的符号不是一样的。

对于

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=1]$$

这个式子，我们知道一种做法是先折半然后就能写成 $\phi$ 的前缀和：（$-1$ 是因为 $gcd(1,1)=1$）

$$2(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i[gcd(i,j)=1])-1=2\sum _{i=1}^n\phi (i)-1$$

还有一种做法是直接用莫比乌斯函数进行反演：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)=\sum _{d=1}^n\mu (d){\lfloor n/d\rfloor }^2$$

但是为什么这两个式子是相等的呢？我们考虑我们有一个经常拿来用的引理：若 $f\ast g=h$，则 $\mathrm{\Sigma }h(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)\mathrm{\Sigma }g(\lfloor n/i\rfloor )$。

如果我们有一个函数 $g(n)$ 满足其前缀和 $\mathrm{\Sigma }g(n)=n^2$，那么我们就有一点它们相等的希望。而显然 $g(n)=n^2-(n-1{)}^2=2n-1$，于是就知道原式等于

$$\mathrm{\Sigma }(g\ast \mu )(n)$$

又众所周知狄利克雷卷积存在对加法的分配律，以及常数可以自由进入 $\ast$ 号，我们将原式改成

$$(2\mathrm{\Sigma }(\text{Id}\ast \mu )-\mathrm{\Sigma }(\text{I}\ast \mu ))(n)$$

这些都是经典结论了，$\text{Id}\ast \mu =\phi ,\text{I}\ast \mu =ϵ$，也就是说原式等于

$$(2\mathrm{\Sigma }\phi -\mathrm{\Sigma }ϵ)(n)=(2\mathrm{\Sigma }\phi -\text{I})(n)$$

$ϵ$ 的前缀和恰好为 $I$，所以这就等于上文那个 $\phi$ 的前缀和的形式。其实它们是有联系的！

以上过程成立，都是因为以下这个重要的式子成立，真是太有趣了。还可以用这个技巧优化更多此前没有注意过的题目。

$$f(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)h(\lfloor n/i\rfloor )⟺\mathrm{\Delta }f=g\ast \mathrm{\Delta }h$$