【笔记】数据结构选讲 2025.2.10

【笔记】数据结构选讲-李雷思问 2025.2.10

【笔记】数据结构选讲-李雷思问 2025.2.10

Becoder 50751 多重集

G. 多重集 - 数据结构选讲1-李雷思问（day22） - 比赛 - Becoder

通过指定 $a_{c} + b_{c}$ 与 $a_{y} + b_{y}$ 的大小关系，可以得到一个一维偏序，满足这个一维偏序的时候 $max$ 取到某个值，反之取到另一个值。

在值域线段树上维护这个偏序关系，每次 pushup 的时候统计跨过中点的偏序关系所带来的答案。可以做到 $O (q \log q)$ 。

P7907 [Ynoi2005] rmscne

定义两个区间 $[l_{1}, r_{1}], [l_{2}, r_{2}]$ “值集合相同”当且仅当 ${a_{l_{1}}, a_{l_{1} + 1}, \dots a_{r_{1}}} = {a_{l_{2}}, a_{l_{2} + 1}, \dots a_{r_{2}}}$ 。

子区间的可能性过多，并不好直接求，我们考虑把选子区间改成：对询问区间 $[l, r]$ 的每一个后缀 $[x, r]$ ，都维护一个最短的前缀 $[x, y]$ 使得 $[x, y], [x, r]$ 值集合相同，然后记 $f_{x, r} = y - x + 1$ 。然后我们再去找一个最短的后缀 $[z, r]$ 使得 $[z, r], [l, r]$ 值集合相同，我们查询 $min_{l \leq x \leq z} f_{x, r}$ 就好了。核心在于将一个子区间看作某个后缀的前缀。

扫描线从左往右扫 $r$ 维护 $f_{x, r}$ ，可以使用线段树维护。找到 $z$ 可以维护所有颜色的最后出现位置的集合在上面 lower_bound 找。总的时间复杂度 $O (n \log n)$ 。

由于这个复杂度不是本题正解，需要优化常数才能通过。具体是优化找 $z$ 的部分，发现那个集合可以提前加入 $[1, n]$ 所有位置然后每次只做删除操作。可以使用并查集维护。复杂度没有降低（仍然是 $O (n \log n)$ ，注意），但是却神奇地通过了。

P6773 [NOI2020] 命运

一个 $O (n^{2})$ 的 dp 可以想一下就能想到，令 $f_{u, j}$ 表示 $u$ 子树中没有被满足的限制（没有已知黑色边的链）的最深链顶的深度，没有这样的链就是 $0$ 。转移首先初始化 $f_{u, j} = [j = c]$ 其中 $c$ 是以 $u$ 为链底的最深链顶的深度。紧接着枚举所有儿子 $v$ ，如果 $(u, v)$ 染黑则 $j$ 会清零，否则不会动，也就是首先 $f_{v, 0}$ 加上 $\sum_{j} f_{v, j}$ ，然后做“max 卷积”：

f_{u, i}^{'} = \sum_{max (j, k) = i} f_{u, j} f_{v, k}

一种方法是做前缀和之后点乘再差分回来，也可以拆开 $max$ ：

f_{u, i}^{'} = \sum_{j < i} (f_{u, j} f_{v, i} + f_{u, i} f_{v, j}) + f_{u, i} f_{v, i}

最后记得把 $j \geq d e p_{u}$ 的 $f_{u, j}$ 全部清空，它们已经不合法了。这就是一个 dp。

优化使用线段树合并。合并的时候有一个函数 merge(p, q, l, r) 表示合并 $p, q$ 两个线段树，你再额外传入两个变量 $p s, q s$ 表示 $< l$ 的部分 $p$ 这边的总和与 $q$ 那边的总和。这样如果 $p, q$ 有一个为空的时候，例如 $q$ 是空的，你就需要在 $p$ 上打 $\times q s$ 的乘法标记。叶子的时候，这片叶子的值更新为 $v a l_{p} q s + v a l_{q} p s + v a l_{p} v a l_{q}$ 。其它情况正常递归下去并更新 $p s, q s$ 。（所以有可能你需要先合并右子树再合并左子树）

总复杂度 $O (n \log n)$ 。

[Hangzhou23K] Card Game

如果区间 $[l, r]$ 的答案为 $f_{l, r}$ ，那么考虑 $l$ 这边会干出什么事，设 $l$ 右边第一个值与 $l$ 相同的位置是 $x$ 。如果 $r < x$ ，则 $l$ 只出现一次且不会被其他东西消去， $f_{l, r} = f_{l + 1, r} + 1$ 。否则无论 $[l, x]$ 中间有什么，到了 $x$ 都会消去， $f_{l, r} = f_{x + 1, r}$ 。

不要写可持久化平衡树。直接做线段树合并与分裂就是对的了，因为这里的合并不是“有交并”而是“无交并”，复杂度是固定的 $O (\log n)$ ，而分裂也是 $O (\log n)$ ，因此总的复杂度是 $O (n \log n)$ 的。这个东西带有标记，处理标记的方法参考可持久化文艺平衡树的模板。

UOJ164【清华集训2015】V

一种方法是和 P8868 [NOIP2022] 比赛一样的矩阵乘法维护信息。另一种方法先忽略了历史最值，将所有操作统一刻画为了 $x \mapsto max (x + a, b)$ 。由于这个刻画的性质过于好，它的复合与 $max$ 操作都是封闭的，对历史最值的操作也可以用这个刻画进行维护。复杂度 $O (m \log n)$ 乘上一些常数。

LOJ6029 「雅礼集训 2017 Day1」市场

势能线段树。直接说了，这题的势能函数构造是 $ϕ (u) = \log_{2} max (1, a_{u} - b_{u})$ 其中 $a_{u}, b_{u}$ 是线段树 $u$ 节点的最大值、最小值。总势能是所有 $ϕ (u)$ 求和。我们希望一个事情发生：

⌊ a / d ⌋ - ⌊ b / d ⌋ \leq ⌊ (a - b) / d ⌋

但是很显然这不是很对，例子是 $a = 4, b = 3, d = 2$ 。什么时候这会失效呢？令 $a = p d + x, b = q d + y$ ，则其不成立的条件是：

p - q > p - q + ⌊ (x - y) / d ⌋ ⟹ x < y

这个条件看似十分搞笑，实际上也是没什么用（但其实有用），我们通过刚才的推导过程我们得知实际上以下式子是成立的：

⌊ a / d ⌋ - ⌊ b / d ⌋ \leq ⌊ (a - b) / d ⌋ + 1

意思是如果 $x < y$ 会有一个负数出来，我们调整一下它。现在我们最害怕的事情就只有两个：

$a = b$ 的时候，向下递归无法减少势能，这需要区间赋值或区间加标记。
$a > b$ 的时候，势能有一定可能变成 $⌊ (a - b) / d ⌋ + 1$ ，如果这个东西 $= a - b$ 我们就完蛋了，例如说 $a = b + 1$ （而且 $x < y$ ）的时候势能就会不变，例如 $a - b = 2, d = 2$ 而且 $x < y$ 的时候势能也不会变，但你发现没有这种情况。再往上的情况那个 $+ 1$ 就微乎其微了，因为 $a - b$ 总会下降，势能总是能减少的。

那就只有两种情况：

$a = b$ 的时候一定要特判，打标记。
$a = b + 1, x < y$ 即 $p = q + 1, x = 0, y = d - 1$ 的时候，因为 $a - b$ 不变，所以我们打一个区间加的标记，同样的 $a = b$ 的时候也打区间加标记就行了。

每次区间加操作会带来 $O (\log n \log v)$ 的势能，每次区间除法操作只会减少势能，总时间复杂度 $O (n \log v + q \log n \log v)$ 。

***这里暂时跳过 segment tree beats 部分

Becoder 29550 牛半仙的妹子序列

总之，这是一个线段树优化 dp 的过程，抛开前面的平凡过程不谈（真的平凡吗？）。总之，我们需要的就是“在线段树区间上，维护出区间内的后缀最值位置上的 $f_{q [i]}$ 之和”。

使用小粉兔线段树，在一个节点上维护区间最大值，后缀最大值的 dp 值之和，以及左子树中 $\geq$ 右子树最大值的部分的后缀最大值的 dp 值之和（最后这一个值记作 $s$ ）。pushup 的时候只需要确定 $s$ ，为此我们拿着右子树最大值（记作 $v$ ）进入左子树进行线段树二分，寻找左子树的后缀最大值中最靠右的 $\geq v$ 的值，每次在一个节点上我们就是去看看右子树的最大值（记作 $z$ ）和 $v$ 的关系就能往一侧去递归，如果 $z \geq v$ 则要往右子树走，同时说明此时左子树被 $z$ 截断的部分现在也得以保留，我们即刻将那一部分（左子树的 $s$ ）统计入当前的 $s$ 中。如此就能计算出 $s$ 。最后总复杂度 $O (n \log^{2} n)$ 。

Becoder 46907 黑白树

先删掉这个改颜色的操作。由于有链加和子树加，我们猜测 dfn 序是跑不了了，而且一个连通块还可以表示为一个大子树扣掉一堆小子树，于是我们大概可以做了，然后发现复杂度有问题在里面。

有人提出了一种算法，以维护白色连通块信息为例，首先将所有黑色点（原文是黑色连通块顶点但我觉得也可以是黑色点）对应的那些子树在线段树上的 dfn 区间对应全都找出来，标记这些线段树节点为灰色，然后我们对白色连通块操作的时候，首先找到顶点（ $O (\log n)$ 的重链剖分就行），然后对这个顶点的子树进行线段树操作。然后神奇的地方来了，我们 pushdown 和 pushup 的时候，不让标记下传到灰色节点，也不从灰色节点把最值信息上传上来（当然还有普通的区间加要正常下传），这样就控住了白色连通块的范围，至此本题得解，时间复杂度 $O (n \log n)$ 。