【模板】拉格朗日插值

【模板】拉格朗日插值

\[\ell_j(x)=\prod_{i\neq j}\frac{x-x_i}{x_j-x_i} \]

\[f(x)=\sum_i\ell_i(x)y_i \]

我们没有必要一定要将点值表示转化为系数表示，因为点值表示也可以进行单点求值，而且若点值连续，则还可以线性求值，与转化为系数表示之后没有区别。只需要求值的场合，完全可以只存连续的点值，然后线性的加法、减法、乘法、单点求值，甚至前缀和（线性）、函数复合（平方）。反而更有前途了。

我们现在有三种方法表示多项式了：系数表达（下分普通幂多项式和下降幂多项式）、点值表达。都可以用，而且各有所长。

拉格朗日插值可以解决点值表达的单点求值。下分非连续点值的单点求值（平方）和连续点值的单点求值（线性），见下。然后加、减、乘的操作，由 valarray 解决。转系数表达，详见本博客其它页面的多项式全家桶（或者少项式科技集）。

mint lagrange(const vector<pair<mint, mint>>& vec, mint x) {
  int n = (int)vec.size();
  mint ans = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    mint num = 1, den = vec[i].second;
    for (int j = 0; j < n; j++) if (i != j) {
      den *= x - vec[j].first;
      num *= vec[i].first - vec[j].first;
    }
    ans += den / num;
  }
  return ans;
}
mint fac[200010], ifac[200010];;
mint lagrange(const vector<mint> &v, mint x) {
  int n = (int)v.size();
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i;
  ifac[n] = 1 / fac[n];
  for (int i = n; i >= 1; i--) ifac[i - 1] = ifac[i] * i;
  mint ans = 0;
  vector<mint> tmp(n + 1);
  tmp[n] = 1;
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) tmp[i] = tmp[i + 1] * (i - x);
  mint pre = 1;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    mint num = ifac[i] * (i & 1 ? -1 : +1) * ifac[n - i - 1];
    mint den = v[i] * pre * tmp[i + 1];
    ans += den * num;
    pre *= i - x;
  }
  return ans;
}
// 第三个 lagrange 是第二个的优化版，去掉了不必要的代码。
mint lagrange(const vector<mint> &v, mint x) {
  int n = (int)v.size();
  if (raw(x) < n) return v[raw(x)];
  mint ans = 0, pre = 1;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    mint num = ifac[i] * (i & 1 ? -1 : +1) * ifac[n - i - 1];
    ans *= i - x;
    ans += pre * num * v[i];
    pre *= i - x;
  }
  return ans;
}