题解 CF407D【Largest Submatrix 3】/ SS240928C【c】

题目描述

给定一个 \(n \times m\) 的正整数矩阵，求其中最大的满足其中不存在两个位置数值相等的子矩阵大小。\(1 \leq n , m \leq 400\)。

本题有多种做法，而你需要寻找常数最小的做法才能通过本题。

solution 链表+双指针

枚举上边界，逐渐下移下边界，枚举左边界，尝试双指针获得右边界。困难之处在于，指针移动一次需要加入或删除 \(O(n)\) 个元素。观察一个元素带来的限制，我们需要找出在它之上或左边，与它相同的元素的列位置的前驱与后继，然后要求双指针区间包含这个元素时，不能同时也覆盖到它的前驱和后继。找出前驱、后继后将元素插入。这个前驱后继的部分可以离线逆序，使用双向链表求得。然后是这个元素的限制，我们使用不带删的双指针，每次都要求当前区间包含的元素的所有限制，当前区间的两个端点都满足，而限制之间可以合并，就是不能删除，是不删除双指针的特征。于是可以 \(O(n^3)\) 时间解决这个问题。

需要说明的是，这个算法的链表部分常数很大，这是因为其寻址不连续，过不了这一题。

【模板】不删除双指针 - caijianhong - 博客园 (cnblogs.com)

solution 双指针

设 \(f_{l, r, u}\) 表示固定左、右、上边界分别为 \(l, r, u\) 之后的下边界最大是多少。显然至少应有：

\[f_{l, r, u}\leq\min(f_{l+1, r, u}, f_{l, r-1, u}, f_{l, r, u+1}) \]

你画一个图，缺失的部分是：\(a_{u, l}\neq a_{[u, d], r}\land a_{u, r}\neq a_{[u, d], l}\)（考虑从 \(f_{l, r, u+1}\) 转移而来，再考虑两个缩左右边界的对当前未判定部分造成的影响，发现中间部分已经合法）。于是可以开两个桶，双指针维护限制。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
int n, m, a[410][410], f[2][410][410], buc[2][160010], ans;
int main() {
#ifndef LOCAL
#ifndef NF
  freopen("c.in", "r", stdin);
  freopen("c.out", "w", stdout);
#endif
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  
#endif
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> a[i][j];
  }
  memset(f[0], 0x3f, sizeof f[0]);
  for (int t = 1; t <= m; t++) {
    memset(f[t & 1], 0x3f, sizeof f[0]);
    for (int l = 1, r = t; r <= m; l++, r++) {
      int d = n;
      for (int u = n; u >= 1; u--) {
        int lim = min(f[~t & 1][l][u], f[~t & 1][l + 1][u]);
        ++buc[0][a[u][l]], ++buc[1][a[u][r]];
        while (d >= u && (d > lim || buc[0][a[u][r]] > (t == 1)|| buc[1][a[u][l]] > (t == 1))) --buc[0][a[d][l]], --buc[1][a[d][r]], --d;
        f[t & 1][l][u] = d;
        debug("f[%d][%d][%d] = %d\n", l, r, u, d);
        ans = max(ans, (d - u + 1) * t);
      }
      while (d) --buc[0][a[d][l]], --buc[1][a[d][r]], --d;
    }
  }
  cout << ans << endl;
  return 0;
}