题解 QOJ1963【[Seoul21J] Squid Game】/ BC2401B【空当接球】

题目描述

有 $n$ 桶水，第 $i$ 桶水的体积是 $c_{i}$ 。水桶的容量无限。可以进行不超过 $L I M$ 次操作，每次选择 $i \neq j, c_{i} \geq c_{j}$ ，使 $c_{i}^{'}, c_{j}^{'} \leftarrow c_{i} - c_{j}, 2 c_{j}$ 。请将至少 $n - 2$ 桶水倒空。输出方案。

QOJ1963： $n = 3, L I M = 1000, c_{i} \leq 10^{9}$ 。

BC2401B： $n \leq 3 \times 10^{5}, c_{i} \leq 10^{10}, L I M = 8.5 \times 10^{5}$ 。

solution n=3

不妨设 $c_{1} < c_{2} < c_{3}$ 。我们提出以下算法，倒出一桶 $c_{2} mod c_{1}$ 的水：首先令 $k = ⌊ c_{2} / c_{1} ⌋$ 。

你观察，如果 $c_{1}$ 一直都是较小的数，那么 $c_{1}$ 会一直倍增。我们进行 $1 + \log_{2} k$ 次操作，第 $j$ 次操作中，如果 $k$ 的二进制第 $j - 1$ 位为 $1$ ，则 $c_{2}$ 往 $c_{1}$ 倒；否则 $c_{3}$ 往 $c_{1}$ 倒。这样感性理解发现操作是合法的，且最后 $c_{2}$ 会变为 $c_{2} - k c_{1}$ ，达到目的。

我们观察最小值，从 $c_{1}$ 变成了 $c_{2} mod c_{1}$ ，它确实变小了，变成了 $c_{2}$ 的一半，但不一定是 $c_{1}$ 的一半。

我们提出以下算法，倒出一桶 $c_{1} - (c_{2} mod c_{1})$ 即 $(k + 1) c_{1} - c_{2}$ 的水：将刚才的 $k$ 改成 $k + 1$ ，在最后一次操作中会变成 $2^{l} c_{1}, c_{2} - (k + 1 - 2^{l}) c_{1}, c_{3} - ? c_{1}$ （ $l$ 是 $k + 1$ 的最高位）。这时候显然有 $2^{l} c_{1} \geq c_{2} - (k + 1 - 2^{l}) c_{1}$ ，左边往右边倒水，左边就变成 $(k + 1) c_{1} - c_{2}$ 。

既然可以使最小值从 $c_{1}$ 变为 $c_{2} mod c_{1}$ 或者 $c_{1} - (c_{2} mod c_{1})$ ，此两者必有其一能折半，于是可以 $O (\log^{2} c_{i})$ 解决原问题。

solution n<=3e5（黄队做法）

将序列从小到大排序，如果相邻两项的商比较小，小到 $1 + ϵ$ ，那么对相邻两项倒一次水，会使得其中一项变的比较小，方便后续的处理。根据黄队所说，取 $ϵ = 0.6$ ，对整个序列跑 $50$ 次，有很不错的效果。

solution n<=3e5（题解）

从小到大枚举 $lowbit (c_{i})$ ，将所有这样的 $c_{i}$ 放在一起。这时候，随意抽取两个 $c_{i}$ ，对他们倒水，显然小的那桶水 $lowbit$ 乘 $2$ ，另一桶 $lowbit$ 至少乘 $2$ （甚至可能会起飞）。我们搞一个 Trie 树，从低位到高位插入这些 $c_{i}$ ，然后在上面 dfs，从下到上进行合并，尽可能使它的 $lowbit$ 飞的更远。这样就能把所有水桶倒到只剩 $O (\log n c_{i})$ 桶 $lowbit$ 互不相同的水，再逐对跑 $n = 3$ 的算法就是 $O (\log^{3} n c_{i})$ 。

对前一部分的次数分析：定义势能为 $U = \sum_{i} \log_{2} n m / lowbit (c_{i})$ （ $m$ 为 $c_{i}$ 最大值，函数记为 $l b (c_{i})$ 并定义 $l b (0) = 0$ ）。初始时势能最大为 $O (n \log n m)$ 。合并两桶水的时候，势能减少 $O (d e p)$ 意思是和他们在 Trie 树上的深度成线性。为分析次数的级别，不妨假设所有的 $d e p = x$ ，则最多有 $2^{x}$ 个点，次数为 $\frac{n \log n m}{x}$ ， $x$ 只能取 $\log n$ ，分析出来 $O (n \log (n m) / \log (n)) \approx O (n)$ 的次数（好草率的分析啊。。。但是没办法，根本不可能有数据卡满）。

code

黄队做法实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
mt19937 rng{random_device{}()};
struct node {
  LL x;
  int id;
  operator LL() const { return x; }
};
vector<pair<int, int>> ans;
void perf(node& lhs, node& rhs) {
  if (lhs < rhs) swap(lhs, rhs);
  assert(lhs.id != rhs.id);
  lhs.x -= rhs.x, rhs.x <<= 1;
  ans.emplace_back(lhs.id, rhs.id);
  if (ans.size() >= (int)8.5e5) exit(0);
}
void printans() {
  cout << ans.size() << endl;
  for (auto&& e : ans) cout << e.first << " " << e.second << endl;
}
int n;
LL m;
void solve(vector<node> vec) {
  shuffle(vec.begin(), vec.end(), rng);
  auto choice = [&]() {
    swap(vec[rng() % vec.size()], vec.back());
    auto ret = vec.back();
    vec.pop_back();
    return ret;
  };
  while (vec.size() > 2) {
    vector<node> tmp{choice(), choice(), choice()};
    auto &a = tmp[0], &b = tmp[1], &c = tmp[2];
    while (a && b && c) {
      sort(tmp.begin(), tmp.end());
      if (b == c) {
        perf(b, c);
      } else if (a) {
        auto k = b / a + (b % a > a / 2);
        for (LL j = 1; j <= k; j <<= 1) perf(j & k ? b : c, a);
      }
    }
    for (auto e : {a, b, c}) if (e) vec.push_back(e);
  }
}
node a[300010];
int main() {
#ifndef LOCAL
#ifndef NF
  freopen("ball.in", "r", stdin);
  freopen("ball.out", "w", stdout);
#endif
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  
#endif
  atexit(printans);
	cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].x, a[i].id = i;
  for (int t = 1; t <= 200; t++) {
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for (int i = 1; i < n; i++) if (a[i] && (double)a[i + 1] / a[i] < 1.6) perf(a[i + 1], a[i]);
  }
  solve(vector<node>(a + 1, a + n + 1));
  return 0;
}

题解做法实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
mt19937 rng{random_device{}()};
struct node {
  LL x;
  int id;
  operator LL() const { return x; }
};
vector<pair<int, int>> ans;
void perf(node& lhs, node& rhs) {
  if (lhs < rhs) swap(lhs, rhs);
  assert(lhs.id != rhs.id);
  lhs.x -= rhs.x, rhs.x <<= 1;
  ans.emplace_back(lhs.id, rhs.id);
  if (ans.size() >= (int)8.5e5) exit(0);
}
void printans() {
  cout << ans.size() << endl;
  for (auto&& e : ans) cout << e.first << " " << e.second << endl;
}
int n;
LL m;
void solve(vector<node> vec) {
  shuffle(vec.begin(), vec.end(), rng);
  auto choice = [&]() {
    swap(vec[rng() % vec.size()], vec.back());
    auto ret = vec.back();
    vec.pop_back();
    return ret;
  };
  while (vec.size() > 2) {
    vector<node> tmp{choice(), choice(), choice()};
    auto &a = tmp[0], &b = tmp[1], &c = tmp[2];
    while (a && b && c) {
      sort(tmp.begin(), tmp.end());
      if (b == c) {
        perf(b, c);
      } else if (a) {
        auto k = b / a;
        for (LL j = 1; j <= k; j <<= 1) perf(j & k ? b : c, a);
      }
    }
    for (auto e : {a, b, c}) if (e) vec.push_back(e);
  }
}
node a[300010];
int main() {
#ifndef LOCAL
#ifndef NF
  freopen("ball.in", "r", stdin);
  freopen("ball.out", "w", stdout);
#endif
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  
#endif
  atexit(printans);
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].x, a[i].id = i;
  for (int t = 1; t <= 200; t++) {
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for (int i = 1; i < n; i++) if (a[i] && (double)a[i + 1] / a[i] < 1.6) perf(a[i + 1], a[i]);
  }
  solve(vector<node>(a + 1, a + n + 1));
  return 0;
}