一般的整除分块

参照上方过程，可以同样地证明：（下文 \(\alpha, \beta\) 均为正整数）
1. 对于正整数 \(n\)，使得式子 \(\left\lfloor\sqrt[\alpha]{n/p^\beta}\right\rfloor=\left\lfloor\sqrt[\alpha]{n/q^\beta}\right\rfloor\) 成立的最大的 \(q\) 满足 \(p\leq q\leq n\) 为 \(\left\lfloor\sqrt[\beta]{n/v^\alpha}\right\rfloor\)，其中 \(v=\left\lfloor\sqrt[\alpha]{n/p^\beta}\right\rfloor\)。
2. 对于正整数 \(n\)，集合 \(\left\{\left\lfloor\sqrt[\alpha]{n/d^\beta}\right\rfloor\mid d\in \mathbb{N}_{+}, d\leq n\right\}\) 的大小的一个上界为 \(O(n^{1/(\alpha+\beta)})\)（大约为 \(2\left\lfloor n^{1/(\alpha+\beta)}\right\rfloor\)）。

整除分块如果只是根号的话，可以有这些结论。有一种对称美。

对于正整数 \(n\) 和正实数 \(\alpha, \beta\)，我们有

1. 对于某个小于 \(n\) 的正整数 \(i\)，使式子 \(\left\lfloor\dfrac{n^\alpha}{i^\beta}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n^\alpha}{j^\beta}\right\rfloor\) 成立的最大的 \(j\) 为 \(\left\lfloor\dfrac{n^{\alpha/\beta}}{\left\lfloor n^\alpha/i^\beta \right\rfloor^{1/\beta}}\right\rfloor\)。
2. 集合 \(\left\{\left\lfloor\dfrac{n^\alpha}{d^\beta}\right\rfloor: d=1,2,\dots,n\right\}\) 大小不超过 \(2n^{\alpha/(1+\beta)}\)。

Github@Tiphereth-A 说整除分块可以推广成这个，来评价一下，顺便把之前犯的错误也一并解决掉。

1. 因为要保证 \(v=\left\lfloor n^\alpha/i^\beta \right\rfloor\neq 0\)，所以 \(i<n\) 应为 \(i^\beta\leq n^\alpha\)，反正我们都是在正整数上讨论，直接写 \(i\leq n^{\alpha/\beta}\)。
2. 除此之外第一条没啥问题，就是形式是否有点扭曲了？
3. 第二条基于 \(d\leq t\) 和 \(d>t\) 的讨论，\(d\leq t\) 对应集合中的数直接算它有 \(t\) 个，\(d>t\) 对应的集合中的数，因为这个集合随 \(d\) 增大而递减，所以直接算是有 \(n^\alpha/t^\beta\) 个。（注意这里的分析与上文“对于任意正整数 \(t\leq n\)，我们对 \(\leq t\) 与 \(>t\) 的 \(v\in S\) 分别分析”是反向的，但是结果是完全一致的）。那么我们现在就是要求

\[n^\alpha/t^\beta+t \]

的最小值，这个东西如果是取等还好说，可它根本就不是基本不等式形式，有可能不是取等。之前的结论也犯了这个错误。我们逐步分析，先来讨论 \(\beta\in \mathbb N^+\) 的情况，换一下字母看着舒服一点：

\[\frac{m}{x^a}+x \]

我们尝试使用基本不等式的扩展，即对于正数数组 \(\{a_i\}\)：

\[\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i} \]

为此我们将原式写为

\[\frac{m}{x^a}+a(x/a)=\frac{m}{x^a}+x/a+x/a+\cdots+x/a \]

一共 \(a+1\) 项，然后应用基本不等式：

\[\geq(a+1)\sqrt[a+1]{\frac{m}{x^a}\cdot (x/a)^a}=(a+1)\sqrt[a+1]{\frac{m}{a^a}} \]

当 \(m/x^a=x/a\) 时取等，这时候就发现不是 \(m/x^a=x\) 取等。

但是我们的 \(\beta\) 可以是正有理数，正实数，这个 \(a\) 不为整数的时候基本不等式可能会爆炸。考虑 \(\beta=p/q\in \mathbb Q^+, p, q\in \mathbb N^+\) 的正有理数情况：

\[\frac{m}{x^{p/q}}+x \]

为此令 \(y=x^{1/q}\)：

\[\frac{m}{y^p}+y^q \]

考虑走刚才的路，尝试配一下系数：

\[=q\cdot\frac{m}{y^pq}+p\cdot (y^q/p)\geq (p+q)\sqrt[p+q]{\left(\frac{m}{y^pq}\right)^q(y^q/p)^p}=(p+q)\sqrt[p+q]{\left(m/q\right)^q(1/p)^p} \]

也就是说最小值为

\[(p+q)\sqrt[p+q]{\frac{m^q}{q^qp^p}} \]

形式十分扭曲，而且不知道怎么推广到正实数，不妨看一下取等条件：

\[m/y^pq=y^q/p\implies \frac{m}{x^\beta q}=\frac{x}{p}\implies x^{1+\beta}q=mp \]

所以

\[x=\sqrt[1+\beta]{\beta m} \]

时原式取得最小值，也是极为逆天。

最后一步是从正有理数推广到正实数，我们施“有理数逼近”即可，反正就是只要 \(\mathbb Q^+\) 成立那么 \(\mathbb R^+\) 也大概率成立。也就是说对于

\[n^\alpha/t^\beta+t \]

当 \(t=\sqrt[1+\beta]{\beta n^\alpha}=n^{\alpha/(1+\beta)}\cdot \sqrt[1+\beta]{\beta}\) 时，该式子取得最小值，令 $C= \sqrt[1+\beta]{\beta} $ 则其为

\[\frac{n^\alpha}{n^{\alpha\beta/(1+\beta)}C^\beta}+Cn^{\alpha/(1+\beta)} \]

使用 geogebra 计算 \(1/C^\beta+C\) 发现其最大值为 \(2\)（当 \(\beta=1\)），所以

\[n^{\alpha/(1+\beta)}/C^\beta+Cn^{\alpha/(1+\beta)}\leq 2n^{\alpha/(1+\beta)} \]

这种东西还是算了吧。但是怎么和直接假装取等算出来的东西一样？大神啊，算出来的东西还真是对的。

感谢 @qwqUwU 指导。