变进制数的运算

定义

给定 \(n, \{a_i|1\leq i\leq n, a_i\in \mathbb N^+\}, 0\leq X<\prod_{i=1}^na_i\)。则称 \(X\) 在 \(\{a_i\}\) 下的变进制表示为一个数组 \(\{c_i|1\leq i\leq n, 0\leq c_i<a_i\}\) 满足（注意空范围的 \(\prod\) 定义为 \(1\)）

\[X=\sum_{i=1}^nc_i\prod_{j=1}^{i-1}a_j \]

容易发现变进制表示是唯一的。注意，变进制数能表示的数大小有限，不妨直接定义是在 \(\bmod \prod_{i=1}^na_i\) 环境下工作。当 \(a_i=i\) 时，变进制数可以刻画排列的康托展开数。

进位

已知 \(X\) 的变进制表示，但是有一些 \(c_i\geq a_i\)，你需要修正。从小到大枚举 \(i\) 逐渐往前进位使得 \(c_i<a_i\)，就和高精度计算一样。最后 \(c_n\) 算完可能会溢出去，我们直接丢掉，反正我们是模意义的。

对位加

已知 \(X, Y\) 的同一变进制的表示，求 \(X+Y\) 的变进制表示。就是直接对位加，再进位。类似高精度加法。

数加

已知 \(X\) 的变进制表示与低精度整数 \(k\)，求 \(X+k\) 的变进制表示。这个非常简单，正数则在 \(c_1\) 上加 \(k\)，然后直接进位。负数则先取相反数（先求 \(k\) 的变进制表示再取相反数），再对位加。

相反数

已知 \(X\) 的变进制表示，求 \(-X\) 的变进制表示。你精心构造，使得 \(c_1'=a_1-c_1, c_i'=a_i-c_i-1(i>1)\) 即可。如果发现 \(c_1=0\)，则你构造完了之后给它进位。

数乘

已知 \(X\) 的变进制表示与整数 \(k\)，求 \(kX\) 的变进制表示。负数先取一遍相反数以防万一。完了以后你就每一个 \(c_i\) 都乘上 \(k\)，然后进位。

秦九韶表示

\[X=a_1\cdots( a_{n-2}(a_{n-1}c_n+c_{n-1})+c_{n-2})\cdots+c_1 \]

不目了然，一言而喻！

获取真实值

已知 \(X\) 的变进制表示，求 \((X\bmod \prod_{i=1}^na_i)\bmod p\)，其中 \(p\) 是一个低精度正整数。转秦九韶表示后从内到外计算，或者根据定义计算。

卷积

已知 \(X, Y\) 的变进制表示（变进制可以不同），求 \(XY\) 的变进制表示（以其中一个数的变进制为 \(XY\) 的变进制，不妨用 \(Y\) 的）。对 \(X\) 应用秦九韶表示，根据乘法分配律，将 \(Y\) 乘入所有 \(c_i\) 上，然后从内到外计算。形如，有一个变进制数 \(tmp=0\)，然后从大到小枚举 \(i\)，先对 \(tmp\) 数乘 \(a_i\)，然后加上 \(c_iY\)。复杂度是 \(O(n^2)\) 的。

换进制

已知 \(X\) 在某种变进制下的表示，请换成另一种。和卷积是一样的，只不过 \(Y=1\)，先转成秦九韶，然后再转到新的进制。复杂度是 \(O(n^2)\) 的。

截断

已知 \(X\) 的 \(\{a_i|1\leq i\leq n\}\) 的变进制表示和一个 \(n_0\)，求 \(X\) 的 \(\{a_i|1\leq i\leq n_0\}\) 的变进制表示。我们直接将 \(c_i\) 截断到 \(n_0\) 就是对的。不言了然，一目而喻。

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合着你这是原创科技？

所以，现在给你两个排列，你能求出它们的字典序的和、差、积对应的排列了？

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更新：

变进制转定进制

已知 \(X\) 的变进制表示，要求你换成另一种定进制（所有 \(a_i\) 都为定值）的表示。观察秦九韶表示，发现一个变进制数的值可以表示为若干一次函数的复合（最后代入 \(0\)），因此，考虑分治求出这个一次函数，每次分治相当于求两个高精度定进制整数的积，可以 FFT 做到 \(O(n\log n)\)，那么总的复杂度可以达到 \(O(n\log^2n)\)。

定进制卷积

可以 FFT 做到 \(O(n\log n)\)。

定进制转变进制

已知 \(X\) 的定进制表示，要求你换成另一种变进制表示。尝试分治，每次需要对一个高精度定进制整数整除左半部分的 \(a_i\) 的积，先做一次分治求出所有要用到的积，再做分治大力进行整除。现在的高精度技术显然可以 \(O(n\log n)\) 的整除，为了方便写代码，我们考虑使用自带这种高精度的语言（python3、pypy3、ruby、golang、haskell）实现，就可以 \(O(n\log^2n)\) 完成定进制转变进制。

再探变进制卷积

已知 \(X, Y\) 的变进制表示，求 \(XY\) 的变进制表示。将 \(X, Y\) 都转成某一定进制，在定进制下做乘法，再转换回变进制。\(O(n\log^2n)\)。