题解 GZOI2024D2B【乒乓球比赛】

4s, 512M

题目描述

Alice 和 Bob 在打乒乓球，乒乓球比赛的规则是这样的：一场比赛中两位选手将进行若干局比赛，选手只需要赢得 \(X\) 局比赛就宣告其胜利；每局比赛中两位选手将进行若干盘比赛，选手只需要赢得 \(Y\) 盘比赛就宣告其胜利；每盘比赛中两位选手将进行乒乓球对决，有且仅有一位选手能被宣告胜利。

你作为 Alice 的朋友观战了他们的比赛，发现 Alice 赢了 \(P\) 盘比赛，Bob 赢了 \(Q\) 盘比赛，最后 Alice 取得了整场比赛的胜利。但是你已经忘了 \(X, Y\) 的具体取值，请问有多少种 \(X, Y\) 使得能存在一种方案满足你记录下的信息。

输入格式

第一行两个正整数 \(P, Q\)。

输出格式

第一行一个正整数表示方案数。

样例

7 5

4

样例零中，\((X, Y)\) 的所有可能取值为 \((1, 7), (2, 3), (3, 2), (7, 1)\)。

554 454

1226

数据范围

• 对于 \(30\%\) 的数据，\(P, Q\leq 10^3\)。
• 对于 \(50\%\) 的数据，\(P, Q\leq 10^6\)。
• 对于 \(70\%\) 的数据，\(P, Q\leq 10^{12}\)。
• 另外有 \(10\%\) 的数据，\(Q=0\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，\(P, Q\leq 10^{14}\)，并请注意 \(X, Y\) 均应为正整数。

solution

设 Bob 赢下了 \(Z\) 局比赛，因为 Bob 赢的局数会影响 Alice 可以赢的局数。可以列出以下不等式：

\[\begin{aligned} Z&<X\\ XY&\leq P\leq XY+Z(Y-1)\\ ZY&\leq Q\leq ZY+X(Y-1) \end{aligned} \]

观察到在 \(ZY\leq Q\) 的限制下，将 \(Z\) 增大一定是不劣的，所以一定有

\[Z=\min(X - 1, \left\lfloor Q/Y\right\rfloor) \]

因为 \(XY\leq P\)，所以可以调和级数枚举 \(X, Y\)，获得 \(50\) 分。

对 \(Z\) 的取值分类讨论。

Z = floor(Q / Y)

对于 \(ZY\leq Q\leq ZY+X(Y-1)\)，这自然满足，因为 \(Q-ZY<Y\)，所以 \(Q-ZY\leq Y - 1\leq X(Y - 1)\)。

对于 \(XY\leq P\leq XY+Z(Y-1)=XY+ZY-Z\) 以及 \(Z\leq X-1\) 可以写出：

\[\max(Z+1, \left\lceil(P+Z)/Y\right\rceil-Z)\leq X\leq \left\lfloor P/Y\right\rfloor \]

三次整除分块解决。先 \(\left\lfloor Q/Y\right\rfloor\) 确定 \(Z\) 以及 \(Y\) 对应区间。然后获得 $ \left\lceil(P+Z)/Y\right\rceil$（注意向上取整，或者写为 $ \left\lfloor(P+Z-1)/Y\right\rfloor+1$）以及 $ \left\lfloor P/Y\right\rfloor$。

Z = X - 1

对于 \(X-1<\left\lfloor Q/Y\right\rfloor\) （等号在上一种情况讨论了）可以推出 \(X\leq Q/Y\) 所以 \(XY\leq Q\)。

对于 \(ZY\leq Q\leq ZY+X(Y-1)\)，左边自然满足，右边 \(Q\leq 2XY-X-Y\)。

对于 \(XY\leq P\leq XY+Z(Y-1)=2XY-X-Y+1\)，其实发现两条不等式很类似。感受一下：

\[\begin{aligned} &XY\leq P\leq 2XY-X-Y+1\\ &XY\leq Q\leq 2XY-X-Y\\ \end{aligned} \]

两个变量的地位等同，不妨：

\[X\leq\left\lfloor\min(P, Q)/Y\right\rfloor \]

后面这个部分，\(P, Q\) 对称，设 \(R=\max(P - 1, Q)\)，然后

\[R\leq 2XY-X-Y \]

以 \(X\) 为主元，求出 \(X\) 的范围。

\[R+Y\leq (2Y-1)X \]

所以

\[X\geq\left\lceil \frac{R+Y}{2Y-1}\right\rceil \]

即

\[X\geq\left\lfloor \frac{R+Y-1}{2Y-1}\right\rfloor+1 \]

感受一下，尝试对 \(Y\) 进一步整除分块。令 \(V=\left\lfloor\frac{R+Y-1}{2Y-1}\right\rfloor\)。求出使得那一坨东西 \(=V\) 的 \(Y\) 的范围。

\[\begin{aligned} V&\leq (R+Y-1)/(2Y-1)\\ 2VY-V&\leq R+Y-1\\ Y&\leq \frac{R+V-1}{2V-1}\\ Y&\leq \left\lfloor\frac{R+V-1}{2V-1}\right\rfloor\\ \end{aligned} \]

至此所有问题都解决了。时间复杂度 \(O(\sqrt P+\sqrt Q)\)，具体几倍常数不知道。

code

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define endl "\n"
#define debug(...) void(0)
#endif
using LL = long long;
LL p, q, ret;
int main() {
#ifndef LOCAL
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);  
#endif
  cin >> p >> q;
  for (LL l = 1, r; l <= p; l = r + 1) {
    LL z = q / l, pz1 = p + z - 1;
    r = p / (p / l);
    if (l <= pz1) r = min(r, pz1 / (pz1 / l));
    if (z) r = min(r, q / z);
    ret += (r - l + 1) * max(0ll, p / l - max(z + 1, pz1 / l + 1 - z) + 1);
  }
  for (LL l = 1, r; l <= min(p, q); l = r + 1) {
    r = min(p, q) / (min(p, q) / l);
    LL v = (max(p - 1, q) + l - 1) / (2 * l - 1);
    if (v) r = min(r, (max(p - 1, q) + v - 1) / (2 * v - 1));
    ret += (r - l + 1) * max(0ll, min(p, q) / l - v);
  }
  cout << ret << endl;
  return 0;
}