【笔记】动态规划：凸优化 2024.8.3

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典题

\(n\) 个物品的背包，重量在 \(1 \sim 4\) 之间，价值在 \(1 \sim 10^9\) 之间。\(n \leq 10^5\)。

Minkowski 和会遇到不连续的问题。不妨按照 \(i\bmod 12\) 划分 dp 数组，每个剩余系都是凸的。

1. 枚举拿了 \(cnt_1\bmod 12\) 个 \(1\)，\(cnt_2\bmod 6\) 个 \(2\)……。然后将 \(12\) 个 \(1\)，\(6\) 个 \(2\)……绑在一起，贪心。

2. 或者分治，一个分治区间维护 \(12\) 个凸函数，逐个合并。

[CF1787H] Codeforces Scoreboard

按照 \(k\) 从大到小排序。如果没有 \(a_i\)，则直接按 \(k\) 从大到小做就最优。不妨设 \(dp_{i, j}\) 表示前 \(i\) 题中有 \(j\) 个题不是选的 \(a_i\)，有：

\[dp_{i, j}=\max(dp_{i-1, j-1}+b_i-k_ij, dp_{i-1, j}+a_i) \]

说可以平衡树维护关于 \(j\) 的凸包。

[ABC305Ex] Shojin

计算区间的代价：先扔掉对答案贡献 \(b_i\) 的 \(a_i=1\) 的函数，那么剩下的函数复合起来增长超快，区间长度必然不会很大。进一步地，可以发现是按照 \(b_i/(a_i-1)\) 从小到大排序。

dp：由上述可知区间长度很小，可以暴力转移；还可以决策单调性，有一个 cdq 将分治决策单调性改到在线的做法，能使用莫队技巧计算区间权值。

还是可以 wqs 二分。有个共线问题，不一定能刚好切到中间。不过可以发现共线部分是一个等差数列，从两边分别逼近就能知道等差数列的两端。

[PA 2022] Nawiasowe podziały

题解 LGP9266【[PA 2022] Nawiasowe podziały】/ SS240121A【Bracket】 - caijianhong - 博客园 (cnblogs.com)

[CF1842I] Tenzing and Necklace

放弃了

DP的决策单调性优化总结 - 洛谷专栏 (luogu.com)

[GYM102268J] Jealous Split

放弃了

[JOISC 2023 Day3] 合唱

洛谷题解写得好啊

GYM102331J

Minkowski 和。然后树剖，对重链分治，或者全局平衡二叉树。

GYM102331H

单次询问又是 Minkowski 和。多次询问在线段树上 \(O(\log n)\) 个区间上 wqs 二分。

好像不是啊

GYM103860I

将题目改完要求最长的形如 \(01010101\cdots\) 的形式，\(k\) 个 \(01\) 可以 \(k\) 次 reverse 计入答案。当然指的都是 \(0/1\) 连续段。Minkowski 和。

LOJ6289 花朵

用动态 DP 的方法大力分治 FFT？

「JOISC 2022 Day1」京都观光

考虑给一个矩形，考察走左下边界和右上边界哪个更好。大概这样：

左下优于右上当且仅当：

\[a_j(r-l)+b_l(j-i)<a_i(r-l)+b_r(j-i) \]

即

\[\frac{a_j-a_i}{j-i}<\frac{b_r-b_l}{r-l} \]

考虑折线情况：

下面一行是 \(k\) 则有：

\[\frac{a_j-a_i}{j-i}<\frac{b_r-b_l}{r-l}\land \frac{a_k-a_j}{k-j}>\frac{b_r-b_l}{r-l} \]

\[\frac{a_j-a_i}{j-i}<\frac{a_k-a_j}{k-j} \]

看成 \((i, a_i)\) 的点，对两维分别求凸包，然后发现按照斜率顺序走，就是对两个维度的凸包求 Minkowski 和的意思。

「2021 集训队互测」蜘蛛爬树

\[ans=dis(u, v)+a_x\cdot\text{版本号之差}+dis(x, \text{u到v的路径}) \]

树剖，对重链分治，维护轻子树构成的凸包，还是做 Minkowski 和。这个只是大致的思路，意思是正确的解法和这个差很多。

[CF1534G] A New Beginning

转曼哈顿。Annie 可以走右上或右下，走到土豆的横坐标上时，曼哈顿距离必然最小（到达前单调不增）。

可以写出 dp 方程了。

Slope trick。