【笔记】数据结构选讲 2024.7.31

【模板】"动态 DP"&动态树分治（树剖）

P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

$$\left[\begin{array}{cc}{f}_{u,0}& f_{u,0}\\ f_{u,1}& -\mathrm{\infty }\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{f}_{v,0}\\ f_{v,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{u,0}\\ f_{u,1}\end{array}\right]$$

这样可以轻易写为树剖，令 $v=son(u)$。

[Ynoi Easy Round 2020] TEST_63（LCT）

P8265 [Ynoi Easy Round 2020] TEST_63 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

$$si{z}_u>2si{z}_v⟺\mathrm{\exists }k,si{z}_u\ge 2^k>si{z}_v$$

维护一条链的信息：先 access 链底全改成重边，再考虑维护树链剖分（显然根据定义只会改轻 $O(\log n)$ 条轻边）。枚举 $k$，在平衡树上二分找到这个 $u$，然后去检查 $u,v$ 是不是应该变轻。

在 LCT 上维护轻子树信息是能做的。然后你维护了重链信息之后就能做了。

维护一个集合，支持增删 $max$，可以开两个 priority_queue，一个存下加的数，一个存下删的数。

[JOISC 2019 Day2] Two Antennas（历史最值）

#3033. 「JOISC 2019 Day2」两个天线 - 题目 - LibreOJ (loj.ac)

扫描线，试图维护历史最大值信息。对于天线 $i$，相当于它有一个注册时间和注销时间。对于天线 $j$，扫到它的时候会有一个合法的 $i$ 区间可用。维护两个序列 $a,b$，初始都是 $-{10}^9$；$i$ 注册时，将 $a_i$ 修改为 $-h_i$；$j$ 扫到时，将 $b[]$ 区间复制为 $h_j$，然后再推平回去。维护区间 $a_i+b_i$ 的历史最大值的最大值。绝对值符号反过来的，reverse 再做一次。

[Ynoi2002 / CTT2022] Optimal Ordered Problem Solver（修改分类）

P9061 [Ynoi2002] Optimal Ordered Problem Solver - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

所有的点，要么没有被操作过，要么在操作矩形的并的轮廓线上。

修改：轮廓线上的点做 $x_i$ / $y_i$ 的区间复制，外面的点暴力查找加入。

查询：轮廓线上的点截取出来数一下，外面的三维偏序。

三维偏序是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的，优化是容斥，拆成上方（二维）、右方（二维）、右上角（都没被修改过，可以直接做）。

[CTT2021] 简单数据结构（修改分类）

【北大集训2021】简单数据结构 - 题目 - Universal Online Judge (uoj.ac)

如果没有 3 操作而是最后输出序列，那么可以将一堆操作合并为 $a_i\leftarrow \underset{j}{min}(a_i+ki,v_j+t_{j}i)$。后者是上凸壳，说明被修改的点是始终单调递增的。

如果已经知道每个点的首次修改时间，则可以使用线段树标记维护。为了求出前者，使用整体二分。每次整体二分求一个凸壳出来，看一眼怎么修改，然后分下去。

[Hangzhou23F] Top Cluster（直径性质）

Top Cluster - Problem - QOJ.ac

权值互不相同是关键。二分答案，查询 $1\sim v$ 的点是否与询问点距离 $\le d$，取到最值的点一定是一条直径的一端。

[dmopc21c8p6] Castle Building（匹配）

[DMOPC '21 Contest 8 P6 - Castle Building - DMOJ: Modern Online Judge](https://dmoj.ca/problem/dmopc21c8p6#:~:text=Initially, 1 3 4 5 7)

分讨 $n$ 出现的位置，改写成未出现的数匹配区间的形式，尝试使用 Hall 定理，需要对所有 $l\le r$ 判定一个二维的东西 $\sum a\le \sum b$。全体区间可以写成两行，每一行的区间互不相交。所以我们首先对每个区间都判一次 Hall 定理。然后，考虑对于一个区间 $[L,R]$，原来是对 $[l,r]\ni [L,R]$ 有容量的贡献，考虑对 $[l,r]\in [L,R]$ 的减去这个区间的容量，这样不影响判定。于是可以转成一维的东西。修改只影响 $O(1)$ 个区间。

[NOIWC2024] 线段树（树上 dp）

P10145 [WC2024] 线段树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

会了，不想写题解啊

[Ynoi2009] rprmq1（历史最值）

P6109 [Ynoi2009] rprmq1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

将询问拆成二区间合并的形式。以拆出的右区间为例，为了保证所有矩形加操作都有顾及，可以考虑在同一层中处理这些区间。用一棵历史最大值线段树扫过去，扫到一个分治区间中点的时候，为了保证查询不被中点前面部分影响，可以给全局加一个 $+\mathrm{\infty }$，放弃之前已经消失的最值（但是现在还在的矩形还留着），询问的时候再抠掉 $+\mathrm{\infty }$。注意 $+\mathrm{\infty }$ 的选取。$O(m{\log }^{2}n+q\log n)$。

[Hangzhou23K] Card Game（可持久化平衡树）

Card Game - Problem - QOJ.ac

记 $t_i$ 为下一个与 $a_i$ 相同的数的下标，那么：

$$ans(l,r)=\{\begin{array}{ll}ans(l+1,r)+1,& t_l>r,\\ ans(t_l+1,r),& t_l\le r.\end{array}$$

$l$ 从右往左扫，可持久化平衡树解决区间复制问题。

[Hefei23K] Campus Partition（树上 dp）

Campus Partition - Problem - QOJ.ac

所划分的一定是链，且链的两端是最大值与次大值（否则不优）。$f_{u,x}$ 表示 $u\to x$ 的链准备匹配，$h_u$ 表示 $u$ 子树内的答案。然后线段树合并，分类合并那两条链或者继承。

[KOI TST 2023] 택시 여행 / Taxi（点分）

택시 여행 - Problem - QOJ.ac

运行 Dijkstra 算法。

点分树，需要支持在所有点分树父亲上插入一次函数，查询单点最小值，写若干李超线段树即可。都是平凡的。

[CTT2021] 小明的树（点边容斥）

【北大集训2021】小明的树 - 题目 - Universal Online Judge (uoj.ac)

点边容斥计算连通块，只需要分开讨论每一条边什么时候给谁有贡献，需要求 $\sum [\text{未点亮的点-边}=1]\sum [\text{点亮的点-边}]$，写成 $\sum [a=1]\sum b$ 算了，显然 $a=1$ 已经是最小值，所以写为 $\sum [a=mina]\sum b$，线段树随机维护一下就好了。修改操作甚至不需要维护树形态，而只是 $O(1)$ 个区间加。

[2022-2023 集训队互测 Round 2] 相等树链（点分、hash）

相等树链 - Problem - QOJ.ac

点分治到重心 $rt$。考虑采取异或哈希判定相等，随机权值 $c_i$。从 $rt$ 出发的路径，我们要选两条拼起来，观察到这两条路径拼起来在 $T_2$ 上的路径两端点 $\in$ 由这两条路径各自在 $T_2$ 上组成的路径两端点（一共四个点）的集合。枚举在 $T_2$ 上的路径两端点分别来自哪里，使用极其恶心的树上前缀异或和的 LCA 分讨随机完成。

[CF1707E] Replace（倍增）

Replace - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

重要的观察：

$$f([l,r])=\bigcup _{i=l}^{r-1}f([i,i+1])$$

$$f^k([l,r])=\bigcup _{i=l}^{r-1}{f}^k([i,i+1])$$

这样就好多了啊！

倍增：

$$f^{2^k}([x,x+1])=\bigcup _{i=l}^{r-1}{f}^{2^{k-1}}([i,i+1]),\text{where }[l,r]=f^{2^{k-1}}([x,x+1])$$

任意 RMQ 算法，没了啊！

[CF1558F] Strange Sort（0/1 转化）

Strange Sort - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

枚举 $v=1\sim n$，将 $\le v$ 的标记为 $0$，$>v$ 的标记为 $1$，并尝试将其排序成 $v$ 个 $0$ 和 $n-v$ 个 $1$，对所有时间取最大值作为答案。考虑所有 $1$ 的位置，从右往左记为 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$，那么 $x_1$ 被移到正确位置的时间为

$$t_1=n-x_i+0/1$$

$+0/1$ 是因为有个奇偶修正的部分。

$t_2$ 和 $t_1$ 一样，不过 $x_2$ 可能会被 $x_1$ 挡住，但如果是这样，则 $x_2$ 一定会紧随 $x_1$ 之后到达它的位置。

$$t_2=max(n-1-x_2+0/1,t_1+1)$$

$$⟹t_i=max(n-i+1-x_i+0/1,t_{i-1}+1)$$

我们要求的是

$$t_k=\underset{i}{max}(n-i+1-x_i+0/1+k-i)$$

外层的 $v$ 减少时，这些 $t$ 是区间修改，或者平衡树都可以做。

[QOJ4815] Flower's Land（点分、树上背包）

题解 QOJ4815【Flower's Land】 - caijianhong - 博客园 (cnblogs.com)

Segbeats（势能分析）

线段树支持 1. 区间 chkmin $v$；2. 区间和。

考虑在线段树上每个节点维护 $max1,max2,num,sum$ 表示最大值，严格次大值，最大值出现次数，区间和。chkmin $v$ 的操作，分类讨论：

1. $v\ge max1$：无影响。
2. $max1>v>max2$：打上标记，表示以后将所有最大值改为 $v$，不往下递归，$sum$ 可以维护。
3. $max2\ge v$：暴力向下递归。

复杂度分析：暴力向下递归之后，这个线段树区间的不同值的个数会至少减少一，总不超过 $O(n\log n)$。

如果加上区间加操作，复杂度变为 $O(n{\log }^{2}n)$ 但是实际表现和 $O(n\log n)$ 差不多，但是没人会证。听说这东西常数不小。