【笔记】图论选讲：网络流、连通性、欧拉路

[CF1082G] Petya and Graph（最小割）

强制保留所有边。对原图所有点和边都建图，对于 \(e=(u, v)\)，连边 \(S\to u, S\to v\) 流量上限是这两个点的点权，\(u\to e, v\to e\) 流量上限 \(+\infty\)，\(e\to T\) 流量上限是 \(e\) 的权值。跑最小割。正确性由连通性意义发现。

[CF1383F] Special Edges（最小割）

改成最小割，先 \(O(2^k)\) 地枚举应该割掉的边集，应该割掉的边权设为 \(0\)，不应该割掉的边权设为 \(+\infty\)（这里只需要看割的意义）。询问也同样枚举。

优化是因为 \(w\leq 25\) 的限制，一开始枚举的时候先钦定所有特殊边都割断，枚举集合时做增流的步骤。

[ARC156F] Make Same Set（匹配）

直接网络流，从源点 \(S\) 出发，连 \(S\to \{1, 2, \cdots, n\}\) 表示选 \(a_i\) 或 \(b_i\)，第 \(i\) 个点连向权值 \(a_i, b_i\) 对应的点，每个权值自己拆一次点确保流量为 \(1\)；然后另一批 \(\{1, 2, \cdots, n\}\to T\) 表示选 \(a_i\) 或 \(c_i\)，反着连回去它对应的权值。

会不会有问题呢，不会。你考虑那些没有流量的点。称一个点为空点，当且仅当它连出去的两条边都没有匹配，它是严重不合法的。实点就是相反。考虑一个空点变为实点以后不会再变回去？因为变回去的时候反悔到那里就不是最短路了，有个更近的从实点过来走两步的流，它是个假的流。所以一开始强制所有 \(A_i\) 流掉再进行 dinic，因为这样全是实点，且 dinic 每次增广都是最短路，就对了。\(O(n\sqrt n)\)。

[AGC031E] Snuke the Phantom Thief（匹配）

枚举选多少个点，将限制变成对范围外第一个单点的限制，那么最终横坐标第 \(i\) 小、纵坐标第 \(i\) 小的就会有一个区间限制。做一遍 chkmin & chkmax 的工作后，单调性可以忽略，可以用 mcmf 做匹配（注意横坐标纵坐标的限制是分别排序后的，一个点可以是横坐标第 \(i\) 小同时是纵坐标第 \(j\) 小）。

[AGC029F] Construction of a tree（匹配）

首先做二分图匹配，从每个集合里面选出这个集合对应的一个儿子。那么要么匹配不上 \(n-1\) 个点，要么剩下一个点，我们就钦定为根，从根开始 dfs，选出它的所有儿子，递归下去。

如果发现没匹配完，说明有不连通的部分，这部分的点数等于边数，也就寄了。

[Gym102201J] Jealous Teachers（匹配）

首尔科学高中有 \(N\) 名教师和 \(N\) 名学生。每个学生购买了 \(N\) 朵花，因为明天是韩国的教师节。然而，其中一名学生退学了，现在学校只剩下 \(N-1\) 名学生。每位教师应该收到正好 \(N-1\) 朵花。学生只能将花送给教过他们的教师，而你知道哪些学生是从哪些教师那里学习的。永勋是首尔科学高中的学生，他需要你的帮助来组织这个活动。

\(2 \le N \le 100 000\)，\(1 \le M \le 200 000\) 并要求构造方案或无解。

先找一个匹配，将所有匹配的边流满，这样会多出学生到某些老师的 \(n-1\) 流量的反悔边，并有 \(n-1\) 个老师的边会断掉（到源点的流量没有意义），所有学生只剩下一个流量，只有一个老师有 \(n-1\) 流量。

这意味着这一位老师需要将流量送给每一个学生。因为中间的边流量为 \(n-1\)，已经是最大流量了，老师可以随意经过而无限制。那么我们看一下图是否连通就好了。

[ECF2022K] Magic（匹配-独立集）

对于两个相交不包含的区间 \(l_1<l_2<r_1<r_2\)，\(l_2\) 和 \(r_1\) 的答案只能留下一个。可以给这两个端点连边，刚好有左右端点之分，是二分图，获得其最大独立集即可。

可以发现，答案不会比最大独立集大。同时也可以发现最大独立集不会比答案大，因为我们一定能通过拓扑排序获得操作方案：拓扑排序过程中，区间的左端点会逐渐右移（或者逐渐左移），不会出现环。

对于包含的区间：反正不需要求方案，不需要与被包含的区间做任何事情。

[CCPCF2022H] This is not an Abnormal Team!（匹配）

有一张二分图，请将它划分为大小为 \(1\sim 3\) 的连通块，满足

• 大小为 \(1\) 的连通块尽量少。
• 在此基础上，大小为 \(3\) 的连通块尽量少。

\(n\leq 10^5, m\leq 2\times 10^5\)。

跑一个最大匹配，那么一个连通块内未匹配的点一定全在左侧或右侧（否则存在增广路）。以左侧为例，将所有匹配上的边 \((u\to v)\) 连边 \(u\to T\) 边权为 \(1\)，未匹配的左侧点 \(u\) 连边 \(S\to u\) 边权为 \(1\)。原来的反悔边保留，跑最大流。可以发现一个流会伴随着若干匹配的改变和一个大小为 \(3\) 的连通块的出现，总之是合情合理的。

注意这题不是求最小边覆盖！

[CF1630F] Making It Bipartite（最小割-切糕）

题目条件即为不能出现 \(a|b\land b|c\)。如果只是 \(a|b\)，那么是最长反链。

有一个与切糕类似的做法，我们将 \(a|b\) 的关系拆成四个点三条边 \(a_1\to a_2\to b_1\to b_2\)，并希望给每个点标一个 \(0\sim 2\) 的标号，满足 \(a_2=a_1\)（删去）或 \(a_2=a_1+1\)（保留），\(b_1=a_2\)。为了连更多的边我们将限制改为：

• \(a_2\leq b_1\) 是钦定的。
• \(a_1+1\leq a_2\) 则支付 \(0\) 的代价，否则支付 \(1\) 的代价。

套用切糕模型，求出最小割，最小割即为删去点的数量。

[CF786E] ALT（最小割）

这题是诈骗的，直接变成居民向路径上的所有守卫连边，要么选居民，要么选一堆守卫。任意数据结构优化建图。

[Gym103855I] Marbles（上下界）

两个袋子 \(u, v\) 合并，将它们以 \([0, \infty)\) 边连向新袋子即可。观察到袋子 \(u\) 的红色珠子数量在 \([l, r]\) 之间，我们向一个新的袋子连一条流量 \([l, r]\) 的边，表示我现在限制它一下。丢掉一个珠子，我们从它所在的袋子向它连一条 \([0, 1]\) 的边，表示我丢掉它，流量送回去。最后统一将所有珠子丢掉。

为什么要这样做呢，因为这样就发现从每个珠子出发有一个回到它自己的圈（环），而且流量因为最后一条边限制是 \([0, 1]\)。如果确认它是红色，那么将这个圈流一个流量，否则不流。这样我们就只需要求上下界可行流了。

*[NOI2022] 二次整数规划问题（最小割-切糕）

定理：值域为 \(n\) 的非负整数点构成的凸包点数上界为 \(O(n^{2/3})\)。

[AGC059C] Guessing Permutation for as Long as Possible（2-sat）

这个东西十分智障，只需要对于所有 \(a, b, c\)，如果询问顺序是 \((a, b), (b, c), (a, c)\)，那么不能 \(a<b<c\) 或 \(a>b>c\)。其它的情况（一条链）你一看发现肯定需要出现上述情况，那么这就是充要条件。

你一看你直接对所有询问当作 2-sat 的变量去拆点就能连出来一张无向图，既然是无向图那么连 2-sat 都不用，直接是一个并查集题目。最终答案 \(2^{block/2}\) 其中 \(block\) 是连通块数量，连通块一定是对称的。另外根据我们的过程，一定不会有环。

[CF587D] Duff in Mafia（2-sat）

这一题的限制超强。对于一个点，你最多只能破坏一条与之相连的边，且同一个点上的同色边不能超过两条，如果有两条同色边则它们必须破坏一条。这就太离谱了，读到这里已经可以前后缀优化 2-sat 建图了（可能还要写个二分）。然而因为同一个点上的同色边不能超过两条，所以你还能发现同色中一定是一堆环和链，环比较简单，链有一个链头可能要和其它人分讨，也是 2-sat 解决的。

[CF1137C] Museums Tour（SCC）

分层图，缩点。你发现城市 \(x\) 的周 \(a\) 与城市 \(x\) 的周 \(b\) 这两个状态不可能出现：它们不在同一 SCC，但是前者能走到后者。因为既然已经能走回城市 \(x\) 的周 \(b\) 了，那么你再重复走 \(d-1\) 轮就能回去周 \(a\) 了。于是就变成 DAG 上 DP。

无标题（SCC）

有⼀张 \(n\) 个点的图，初始没有边。

接下来有 \(m\) 条有向边依次加入图中，保证没有自环，且任意 \(i,j\) 间最多有⼀条边。

每次加入之后，查询如果我们在图中添加⼀些边使得图构成竞赛图，其强连通分量个数的最小值。

\(n\leq 2\times 10^5, m\leq 2\times 10^6\)。

定理：补图上的连通块可以定向成为强连通分量，除非其大小为 \(2\)。

证明：考虑随意定向，此时是竞赛图，其缩点后为一条链。考虑最后一个 SCC，因为补图是连通的，所以它肯定有一条边往回连了，可以反向之，然后递归下去，可以证明原结论。

所以可以先算 \(m\) 条边的答案，反复缩点缩成竞赛图（可能有 SCC 的大小为 \(2\) 要记下）。往前处理询问时，相当于补图上加边，那就能把一个区间的 SCC 缩起来了。

[IOI2019] 景点划分（dfs 树）

钦定 \(a\leq b\leq c\)。想象一棵树怎么做，我们只需要找出重心，如果它有 \(\geq a\) 的子树就做完了；如果没有，则我们必须要选中重心，但因为所有子树 \(<a\)，我们选中重心就再也选不出 \(\geq b\) 的子树了，导致无解。

对于一般图，随机求 dfs 树，求出其重心，如果它有 \(\geq a\) 的子树就做完了。如果没有，考虑这么一个东西，因为 dfs 没有横叉边，这个重心的子树只可能往它头上有连边。维护点集 \(S\)，先将重心头上的点加入 \(S\)，再考虑重心的子树，如果有往上跨过重心的返祖边则也加入 \(S\)，直到 \(|S|\geq a\) 时就有解了。

证明：我们其实是在合并子树，显见，直到有解的时候，\(|S|<2a\)，推出剩下的点有 \(\geq n-2a\) 个，而因为 \(b\leq (n-a)/2\)，\(a\leq n/3\)，后者推出 \(n-a\leq 2n-4a\)，所以 $ b\leq (n-a)/2\leq n-2a\leq $ 剩余点数，因此可以选出这个 \(b\)。

\(|S|\) 无法 \(\geq a\) 时，实际上我们发现这已经和树的情况一致了。

[UNR #5] 获奖名单（欧拉路）

这个东西的核心是将其看作从两端向中间匹配。建出 \(m+1\) 个点，第 \(0\) 个点表示现在左右两端已经匹配，第 \(i\) 个点表示有一端多了一个字符 \(i\)。对于单字符 \(a\)，就是 \(0\) 与 \(a\) 连无向边；对于 \(a, b\)，就是 \(a, b\) 连无向边，显然。根据总长度是偶数还是奇数，确定走欧拉路径还是欧拉回路。

一个细节问题：从匹配好的状态加两个字符，和它匹配的一定是和他一样的东西，用不到它当且仅当它与 \(0\) 点不连通。那就看一下是否都是重边就好了。

*[清华集训2017] 无限之环

*[NOI2017] 游戏

*[QOJ3301] Economic One-way Roads（耳分解）

*[QOJ8056] Travel 2（dfs 树）