日记 2024.5.17：2024 年 syzx 春季训练 6

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2024 syzx 春季训练 6 - Virtual Judge (vjudge.net.cn)

2024 年 syzx 春季训练 6 - 洛谷专栏 (luogu.com)

A. [CF348D] Turtles

给定一个 \(n * m\) 的棋盘，两只乌龟一起从左上角出发，目标是右下角，每次可以向右或者向下走一步。
问有多少种方案，可以使得这两只乌龟在直到终点前的行进过程中彼此不相遇。\(n, m\leq 3000\)

LGV 引理秒了。

C. [ARC123D] Inc, Dec - Decomposition

给出长为 \(n\) 的序列 \(a\)，构造长为 \(n\) 的序列 \(b,c\)，要求：

• \(b\) 非严格递增。
• \(c\) 非严格递减。
• \(b_i+c_i=a_i\) 。

最小化 \(\sum_{i=1}^n |b_i|+|c_i|\)。

• \(1\leq N\leq 2\times 10^5\)
• \(-10^8\leq A_i\leq 10^8\)

直接三分 \(b_1\) 是对的。

构造一个 \(d_i=-c_i\)，变成 \(a_i=b_i-d_i\)，\(b[], d[]\) 单调递增。固定住 \(b[], d[]\) 的形状后，可以随意全局加一个数，那是就是希望它们尽量接近 \(x\) 轴。而且你也希望极差尽可能小，所以要么变 \(b_i\) 要么变 \(d_i\)，\(b[], d[]\) 的形状是固定的。仔细地说，就是若 \(a_i-a_{i-1}<0\)，那么 \(b_i=b_{i-1}, d_i>d_{i-1}\)；若 \(a_i-a_{i-1}\geq 0\)，那么 \(b_i\geq b_{i-1}, d_i=d_{i-1}\)。

仔细刻画答案形式，实际上是选中位数，因为这个绝对值就是你随意选一个坐标做零，然后求其它所有点到零的距离的和，是经典问题。

D. [ARC138C] Rotate and Play Game

两个人在玩游戏：

• 游戏共有 N（N 是偶数） 张扑克组成，第 i 张扑克上面有一个数 \(A_i\)；
• 先手每次可以任意选择一张还没有被选择的扑克；
• 后手每次会老实选择最上面一张扑克；
• 每个人会获得他选中扑克的分数。

先手为了扩大优势（游戏结束时分数尽量大），决定在开始游戏前，切一次牌：把牌堆顶部任意 \(k\) 张扑克放到牌堆底部，即切牌后变成 {\(A_{k+1}, A_{k+2}...,A_N,A_1,...A_k\)}。

问当 \(k\) 选择什么的时候，先手可以获得最多分数，以及该分数是多少。

• \(2 \leq N \leq 2 \times 10^5\)
• \(N\) 是偶数.
• \(1 \leq A_i \leq 10^9\)
• 所有输入值为整数.

答案的上界是前 \(n/2\) 大数的和，事实上答案就取到这个上界。

考虑标记关心的数为 \(+1\)，其它数为 \(-1\)。那么我们总可以构造一种循环移位，使得每个前缀和非正，这样就合法了：我们直接找前缀和最大那个点当作开始就可以了。策略就是，先手每次拿一个最早的 \(+1\)，后手就能看到一个 \(-1\)（相当于先手每次拿一个右括号，那么后手就会有一个左括号可以拿）。

E. [CF1685C] Bring Balance

Alina有一个长度为$2n$的括号序列$s$，由$n$个开括号'('和$n$个闭括号')'组成。由于她喜欢平衡，她想要将这个括号序列转换成一个平衡的括号序列。

在一次操作中，她可以翻转任意子串$s$。

她需要多少次操作才能将$s$转换成一个平衡的括号序列？可以证明最多需要$n$次操作。

作为提醒，如果一个括号序列可以通过添加字符+和1变成一个有效的数学表达式，则称之为平衡。例如，序列(())()、()和(()(()))是平衡的，而)(、(()和(()))(不是。

对于每个测试用例，在第一行输出一个整数$k$ $(0 \le k \le n)$ — 所需的最小操作次数。

接下来的$k$行中，第$i$行应包含两个整数$l_i, r_i$（$1 \le l_i \le r_i \le 2n$），表示在第$i$次操作中，Alina将翻转子串$s_ls_{l+1} \ldots s_{r-1}s_r$。这里的编号从$1$开始。

如果有多个操作序列的长度相同，可以输出其中任意一个将序列转换为平衡序列的操作序列。

实际上答案 \(\leq 2\)。不操作的非常简单，两次操作是因为你可以通过反转 \([1, i]\) 与 \([i+1, n]\) 构造一个循环移位，然后应用 D 的结论。一次操作，考虑若反转 \([L,R]\)。首先 \(L\) 一定不能晚于前缀和中的第一个 \(-1\)，其次在此基础上 \(L\) 要落在前缀和最大的地方，方便后面发挥。\(R\) 同理。然后就做完了。令人惊讶。

F. [清华集训2016] 你的生命已如风中残烛

你有 M+1 张牌，其中有 1 张关键牌，沉在牌堆底部。

另外有 N 张特殊牌，他们有过牌的能力：即抽中它之后你可以继续抽接下来的 \(W_i\) 张牌，\(\sum{W_i}\) 恰好等于 M，所以不会爆牌。

问有多少种牌堆的排列，可以使得你抽完第一张牌之后，可以顺利抽到牌堆底部的关键牌（即把所有牌抽光）。

对于 \(100\%\) 的数据，\(n \leq 40\)，\(1 \leq w_i \leq 10^5\)。同时保证有 \(m-n \geq 4\)，因为牌堆里毕竟要有这 \(5\) 个部件嘛。

Raney 引理：对任意数组 \(a[]\) 满足 \(\sum_{i=1}^na_i=1\)，\(a[]\) 恰好只有一个循环移位使得每一个非空前缀和都是正数。方案是，任意选择循环移位，从最后一个前缀和最低点断开作为新的循环排列的第一个数。

所有 \(w_i\) 减一（包括关键牌），则总和恰好为 \(-1\)，任意前缀和 \(\geq 0\)，相当于任意后缀和 \(\leq -1\)。由 Raney 引理，这样的排列恰好只有一个循环移位是合法的，于是数圆排列 \((m+1)!/(m+1)=m!\)。然后还需要注意最后一张牌必须是关键牌，但是我们数的时候没有区分，应该加一个标号，计算 \(m!/(m-n+1)\) 即可。

G. [QOJ7632] Balanced Arrays

给定 \(n, m\)，计数由多少个非负整数数组 \(a\) 使得 \(a_0=a_{n+1}=0\) 时 \(\sum_{i=1}^{n+1}|a_i-a_{i-1}|\leq m\)。\(n, m\leq 500000\)。

枚举 \(\sum_{i=1}^{n+1}|a_i-a_{i-1}|=2i\)（显然必定是偶数），把涉及到的 \(2i\) 个值当作平面直角坐标系的点，枚举有 \(2k\) 个转折点。

考虑分配点坐标。将所有点关于 \(y=m/2\) 对称，若无“每个点都必须在第一象限”的限制，则这部分方案数为 \(\binom{i-1}{k-1}^2\)，但是如果有这样的限制，考虑在最前面加入一个 \(+1\)，应用 Raney 引理，分好上升段和下降段以后，因为所有 \(k\) 个谷底的地位是等同的，欲将钦定我们加入的 \(+1\) 在最前面，则除以 \(k\)，即我们计算

\[\binom {i-1}{k-1}\binom{i}{k-1}/k \]

考虑将 \(a[]\) 对应回去。即将上升段、下降段拆开放回去，但是一个 \(a_i\) 不能同时被塞上升段和下降段，对此考虑扩展插板法。考虑 \(2i\) 个点排成一排，欲以 \(n-1\) 个板插入 \(2i+1\) 个空，但要求上升与下降的分界处有至少一个板，这里一共有 \(2k-1\) 个地方被限制，所以无限制的板有 \(n-2k\) 块，有限制的先插进去，然后插板，得到

\[\binom{n-2k+2i}{2i} \]

故答案约为

\[\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^i\binom {i-1}{k-1}\binom{i}{k-1}\binom{n-2k+2i}{2i}/k \]

可用阶乘展开式分离组合数并用 NTT 加速计算。

H. [QOJ7632] Balanced Arrays

给定 \(n\) 和 \(M\)。

起初有一个长度为 \(n\) 的数组 \(a[]\)，元素都是 0，每次可以：

• 选择某个前缀区间 +1；
• 选择某个后缀区间 +1。

问经过任意次操作，可以构成多少种不同的数组，满足: \(a_i <= M\)。\(n,m\leq 500000\)。

观察到 G 和 H 的题意是一模一样的，但是我们考虑若使 \(a_0=a_{n+1}=m\)，则我们尝试将 \(a[]\) 分解成两个序列 \(b[], c[]\)，使得 \(a_i=b_i+c_i\)，\(b_0=m, b_{n}=b_{n+1}=0\) 且 \(b[]\) 单调不增，\(c_0=c_1=0, c_{n+1}=m\) 且 \(c[]\) 单调不降，且 \((b_i-b_{i-1})(c_i-c_{i-1})=0\)。就是把每一次操作拆出来了，然后限制 \(b[], c[]\) 是唯一的。然后要求 \(b_i+c_i=a_i\leq m\)，要数这样的 \(b[], c[]\) 的个数。

\(b_i+c_i\leq m\) 不好看，令 \(d_i=m-b_i\)，则限制转化为：

• \(b_i+c_i\leq m\implies c_i\leq d_i\)。
• \((c_i-c_{i-1})(d_i-d_{i-1})=0\)。
• \(c[], d[]\) 单调不降，\(c_0=d_0=0, c_{n+1}=d_{n+1}=m\)。

若无第二个限制条件，则我们将要求两条从 \((1, 0)\) 走到 \((n+1, m)\) 的路径，满足只能向上或向右走，两条路径可以相交不能穿越。将上面一条路径左移一个单位，上移一个单位，转化为两条不相交路径，应用 A 题做法。将这里的答案记作 \(f(n, m)\)。

加入第二个限制条件，考虑容斥，钦定集合 \(S\) 中的下标满足 \((c_i-c_{i-1})(d_i-d_{i-1})\neq 0\)，然后将 \(c[i:n]\) 与 \(d[i:n]\) 集体 \(-1\)，然后应用 \(f(n, m-|S|)\)，然后再将减掉的加回去，就相当于提前帮它们非法掉。由二项式反演还是什么东西，得到答案是

\[\sum_{i=0}^n(-1)^n\binom n i f(n, m-i) \]

I. [CCPCF2023] Add One 2

多组询问，每次给定 \(n\)，以及一个长度为 \(n\) 的数组 \(b[]\)。

起初有一个长度为 \(n\) 的数组 \(a[]\)，元素都是 0，每次可以：

• 选择某个前缀区间 +1；
• 选择某个后缀区间 +1。

每次操作的代价是选中区间的长度。
问最少花费多少代价，可以使得任意的 \(a_i >= b_i\)。

数据范围
\(1 <= T <= 10^5, \sum{n} <= 10^6, 0<=b_i<=10^9\)。

由 G 的题面，我们需要找到的是一个 \(a[]\) 满足 \(a_i\geq b_i\)，\(a_0=a_{n+1}=m=\max_{i=1}^na_i\) 的时候 \(\sum_{i=1}^{n+1}|a_i-a_{i-1}|\leq 2m\)。因为 \(a[]\) 整体加一或减一不影响合法性，故直接钦定 \(m=\max_{i=1}^nb_i\)。

这里，我们的答案是 \(\sum_{i=1}^na_i\)。考虑我们直接在 \(b[]\) 上调整，将其调整为合法。考虑一段谷底，需要将这一段值相等的谷底全部 \(+1\)，才能使 \(\sum_{i=1}^{n+1}|b_i-b_{i-1}|\) 变小，所以暴力维护所有谷底，每次拿一段最短的谷底去加即可。