游记 PKUWC2024

2024 北京大学全国优秀中学生信息学冬季体验营 1.25~1.27

重庆市育才中学校

目录

1.26

13:00

网络卡顿挂了 5 分钟。但没事，因为在写 ntt 板子。还写挂了。然后看了题目，T1 应该可以做出来，T2 被吓到了，T3 可以想一下。T1 -> T2 -> T3。

T1 首先写了个区间 dp 交上去。目测是一个 dp 优化，把决策点输出一下看看。首先有结论是 L__ 或 __R 是先手必胜，其中 _ 是任何字符串。然后其它 R__L 的好像没啥规律。然后随机了几个数据，输出了一下先手必败的，发现 RLRLRLRL 是必败的，然后还有一个 RLRRLRLLRL 怎么也是合法的？怎么像括号匹配？真的！40 分钟就过了。

定理。将 R 视作左括号，L 视作右括号，则先手必败当且仅当字符串为空或括号序列合法。

证明。仿照 nim 游戏的思路，证明以下三点。

  • 终态是必败态。
  • 一个必败态，无论如何操作都是必胜态。你大概考虑一下，一个合法的前缀，刚好下一个字符是 R，切不到。
  • 一个必胜态，存在方案能到达必败态。左括号看作 +1，右括号看作 -1，那么序列中如果存在前缀和是 -1，那么说明出现了右括号，直接保留右括号左边（L）的部分。否则将序列翻转，左右括号互换，必然有 -1，否则你这是合法括号串。

13:40

T3。首先怎么做原来的题目，怎么做啊，把询问一玩了一下，感觉影响很大，对整个堆影响很大（过程中几次把堆画成小根堆），所以肯定是要对一个点做分析。根据题目结论，堆形态是固定的，想象它为什么是固定的啊？

回想起堆排序干的事情，首先你把所有数扔一起建大根堆，然后拿出堆顶放在最后，pop 掉；拿出堆顶放在次后，pop 掉；……。pop 了 k 次以后，堆顶就是第 k 大。pop 和放一个 0 是一样的，pop 就是主动置零或者零从父亲下去。所以放 k 次零之后这个节点的值就是子树第 k 大，最大是第 0 大。

对于节点 u。当我已经通过某种方法确定了左右儿子后，那么我自己的值，则要大于两个儿子，而且尽量小，相当于两个儿子的 max 在子树中的后继。一下就可以转移了！但是有一个问题就是 0，0 就是原神，如果将叶子的两个儿子当作 0，那么，当这个点不是关键点（∉S，下文同）时，这个点可以直接取 0，否则还是 0 的后继即最小值。其它情况都是 max 的后继，分讨在这里严重的出现了！然后知道了询问一为什么不是 23 了。会了这个就可以配合爆搜 S 过掉 subtask 1, 2, 3 共 40 分。然后观察到一个点的最终值只和两个儿子有关，在修改 x 后暴力跳父亲到根就能过掉 subtask 5，O(nlog2⁡n)，需要实现好一点，写个二分，有一点卡常。

15:00（大概）

急了，写了 T2 的 11 分暴力。

然后 subtask 4。回归到这个题原本的题意，要求 f[x]=z（f 是这样操作后的最终的值）的方案数，首先不在 x 子树内的点就线性乱搞。设计 dp 状态，暴力，dp(u,=z) 表示 f[x]=z 的方案数，根据 subtask 1, 2, 3, 5 的 dp 式子，需要满足 max(f[2p],f[2p+1]) 是 z 的前驱（z 的前驱记为 y），进一步发现是形如一个儿子固定 =y，另一个儿子 <y，y 在前者的子树中的东西。所以又会有 dp(u,<z) 表示 f[x]<z 的方案数，拆成两个儿子都 <y 的方案数的乘积。这里就有 0 的问题，太恶心了，忘了怎么分讨的，就是对着 z,y 是否为 0 以及是否关键是否叶子分类一大堆，还要注意不要重复递归保证复杂度正确。反正最后是写出来过了 subtask 4 的 20 分。注意有一个基本事实是如果 f[x]=0，那么整个子树的 f 都是 0。O(nqlog⁡n) 可以通过。

后面是动态 dp 的东西，看上去并不好写。不写了。

16:00

怎么分数是 191 啊。看看 T2 性质？subtask 1 过掉以后就和值域没啥关系了，没有判断出来是个什么类型的题目。首先枚举大小关系，然后做高斯消元的时候有自由元，推了一下是 excrt 形式（aix≡bi(modc)i 也是 excrt，望周知。如果 gcd(a,c)≠1，记为 d，则变成 (ai/d)x≡bi/d(modci/d) 直接整除，bi 不能除直接无解，然后就有逆元了，然后就 excrt 了，要最小的整数解）。谁写啊？而且还有相同的方程，矩阵直接不满秩，难受。这个问题的关键是我们要求整数解，不是有理数解，自由元可能通过调整可以调成整数，甚至不止一个自由元。

然后就沉默了。

17:00

100+11+80=191。好像还可以。

T2 大家都过了（好一个“大家”）。说什么 a 数组（原题的 f）区间加一，则 f 数组（原题的 f′）的那一个区间加上区间长度相关的东西，其它不确定。这个 n−1 是点边互换的。然后 dp，然后不知道怎么做。

大家 dà jiā
2. [great master]∶犹言大作家，大专家。　　艺苑品题有大家之目，自论诗者推李杜始。—— 王夫之《夕堂永日绪论外编》
5. [polymath]∶知识渊博者，博学的人。
——摘自百度百科 https://baike.baidu.com/item/大家/32746

1.27

56+55+55=166 细节明天

13:00

T1 鉴定为贪心，T3 鉴定为 sshwy 讲过一个类似的但完全不一样，可以试着搞一下，T2 没有想法。

T1 贪心写了一下发现细节有点多，写了一会把原问题刻画成线性规划了，贪心顺序不知道是啥，有 11 种决策，就弃了。后来想起对偶，对偶完了以后也不会解，搜出来假了。沉默了。

T3 首先将栈数组扫描线掉，无弹栈就是线段树二分，y=1 就是维护总和，直接分块维护一下，大概形如弹出一段再加入一段的形式，是根号的。后面想不到。

T2 会了状压 dp 后找到了 m=2 的规律。

然后摆烂了。

56+55+55=166。

17:00

T1 直接贪心，换一下顺序，按照总和——4——3——2——1 的数量选。

T2 观察到 modd1 同余的 d1 个链，一开始一定是降序才能有用。然后状态数就对了。

T3 分块之后暴力维护那些栈竟然是能过的，O(nnlog⁡n)。

沉默了。

然后 pkuwc 2024 就结束了。

晚上去了解放碑，洪崖洞，第二天去了武隆区的天生三桥看了一下。然后就是 noiwc 2024 了。

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