【笔记】数据结构专题

恐怖

一大堆 Ynoi，一大堆不会的

以后再来吧

https://vjudge.csgrandeur.cn/article/3908

8.5 数据结构

扫描线

P5490 【模板】扫描线

对坐标离散化。维护 \(a,b\)，\(a\) 是相邻两个矩形高度差，\(b_i\) 初始全零，操作是 \(b[l,r]+=v\)，询问 \(\sum_{i} a[b_i\geq 1]\)。维护 \(\min,\sum\) 并合并。

P4605 [SDOI2018] 物理实验

线段有自己对应的权重，就是它的长度。加入线段树时维护离导轨最近的线段，这样就能得到这条分割出的 \(x\) 轴上的线段的权重，然后查询。

CF704E Iron Man

树剖改成链，变成一大堆链是否有交，插入时只考虑相邻（两条线段中间没有别的，一个上一个下）的线段。

扫描线扫描时间，时间是它在 \(x\) 轴上加入和删除的时间，然后维护 std::set，去动与它相邻的线段，判交/修改权重并查询。

P6106 [Ynoi2010] Self Adjusting Top Tree（？）

对于 \(x_1<x_2,y_1>y_2\)，维护与上界有交并且在红色虚线下的长度，和与右界有交并且在黄色虚线左边的线段长度和。红线上移时，线段的长度，关于 \(y\) 形如 \(ky+b\) 的一次函数，所以维护 \((\sum k)y+(\sum b)\)，右边的用树状数组维护一下。

变形扫描线

有 \(n\) 个区间，多次询问一个大区间有多少个小区间是给定的？

\(x=1\to n\)，if

• \(x=r_i\to a_{l_i}:=a_{l_i}+1\)。
• \(x=R\to ans=query(L,n)\)。

CDQ 分治

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

对着 \(a\) 排序后分治，变为 \(j\in [l,mid]\) 对 \(i\in [mid+1,r]\) 的贡献，\(f(i)=\sum_{j<i}[b_j\leq b_i][c_j\leq c_i]\)。对 \(b\) 扫描线，树状数组维护 \(c\) 的值域前缀和。

P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

没有修改，维护 \(pre_i\) 表示上一个颜色与它相同，\(ans=len-\sum_i[pre_i\in[l,r]]\)。可以扫描线做。

\((t,x,y,v)\) 表示时刻 \(t\)，\(pre_y=x\)，询问就是 \((\leq t,\geq l,\leq r)\)。

修改就颜色段均摊，\(pre\) 只在修改颜色段个数个地方要修改。

CF568E Longest Increasing Subsequence

数字重复用是没有意义的。

\(f_{a_i\neq -1}=1+\max_{0\leq j<i,a_j\neq -1,a_j<a_i}\{f_j\}\)。 还要中间能填的个数，就是 \(\min(c_i-c_j,s_{a_i}-s_{a_j})\)。钦定方向之后 cdq 分治优化 dp。

P5979 [PA2014] Druzyny

\(rng(i,j)=[\max l(i,j),\min r(i,j)]\)。

\(f_i=\max_{i-j\in rng(j,i),j<i} f_j+1\)。

cdq，\(i-j\in rng(j,mid)\land i-j\in rng(mid+1,i)\)

\(\Rightarrow i\in j+rng(j,mid)\land -j\in rng(mid+1,i)-i\)。

预处理右边这些，用线段树维护。

树上二分

线段树上 kth

类似平衡树地做，\(k\leq siz_{lc}\) 则左子树，否则右子树。

P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士

离散化，设 \(A\) 是前缀和，\(B\) 是后缀和，则求 \(\max(\min(A,B))\)。\(A\) 上升，\(B\) 下降，必只有一个交点。对线段树维护左边 \(A\) 的值和右边 \(B\) 的值，在线段树上二分，根据 \(A_r\) 和 \(B_r\) 的关系决定去哪个子树。

GYM104090J Painting

这是把平面划分成很多块，维护每一块的顶点。画一条线就是把区域分成两部分，暴力维护。找停止点，就是知道每个顶点的坐标，然后二分每个点，判断每个点在线的上面还是下面。存点从 \(y\) 轴上较高的那个店开始顺时针存。

线段树合并与分裂

P4556 【模板】线段树合并

树上差分之后线段树合并。

复杂度：每次合并的时候遍历到就删去，总数 \(O(n\log n)\)。

P5494 【模板】线段树分裂 （待写）

把 \(\leq k\) 和 \(>k\) 的分成两个线段树？像 fhq，但是要再复制一遍，最多一共两个根，三个儿子节点，刚好等于的时候就增加一个点。每次分裂只增加一条链，所以空间 1log。

P5612 [Ynoi2013] Ynoi（1log 空间）

维护形如 \((sort(S_1),x_1),(sort(S_2),x_2),\cdots\) 的对子，表示 \(S_i\) 已经排好序，\(x_i\) 是异或 tag，每个对子用一个 01-trie 的值域线段树维护。

操作二：split 一些对子（注意到这些对子的分裂可以直接按值域分裂而不是下标，因为排好序了），暴力合并所有中间的对子，形成新的对子。

将每个对子的左端点记录在线段树上，tag 打在另一棵线段树上，那么暴力合并的时候就是在线段树上先找到 tag 的值，然后再合并。

操作一：线段树。

操作三：线段树。

然后就是 \(O(n)\) 的 01-trie 了，不在讨论范围之内。

P5044 [IOI2018] meetings 会议（？）

暴力是区间 DP。\(f(l,r)=\min(f(l,i-1)+(r-i+1)h_i,f(i+1,r)+(i-l+1)h_i)\) 其中 \(i\) 表示 \([l,r]\) 中最大值下标。

对笛卡尔树节点记前后缀 DP 值。然后拆出来一堆什么什么东西？？？然后线段树合并两个儿子。

UOJ418 【集训队作业2018】三角形

加入 \(son_u\)——加入 \(u\)——删掉 \(son_u\)——删掉 \(u\)

时光倒流变成：先加父亲，再加儿子，然后维护 \((\Delta sum,pmx)\) 表示一个操作需要多用多少个石子，当前最大前缀和。例如加入 \(u\) 后每次加儿子就形如 \((w_j,pmx+w_j)\) 的东西，最后删掉儿子就是 \((-\sum_j w_j,?)\) 的东西。合并显然吧！

只考虑 1 号节点的操作序列，我们发现如果不保证先父亲后儿子的性质，那么显然是所有 \(\Delta<0\) 的先做了，\(pmx\) 从小到大；\(\Delta>0\) 的后做，\(pmx\) 从大到小。要考虑先父亲后儿子，只需使每对父子关系的点，如果错了，那调整后一定是搞完父亲立马搞儿子，用并查集把它们并起来就行。所以我们得到了 1 号点的操作序列。

欲将得到每个点的操作序列，把 1 号的操作序列重新按时间放回去，线段树合并。

兔队线段树

maintain 需要一次 query 的线段树就是兔队线段树啦

P4198 楼房重建（待写）

改编题

对 \(a_i\) 值域线段树，\(sum\) 是 \(b_i\) 的和，\(end\) 是最后一个结束洗澡的人的时间。

CF671E Organizing a Race（？）

\(G\) 是 \(g\) 的前缀和，\(W\) 同理。判定 \([l,r]\)，就是判定是否 \(\forall i\in [l,r],s.t.G_i-G_{l-1}\geq W_i-W_{l-1}\)，另一边 \(G_r-G_i\geq W_r-W_i\)。就是 \(G_i-W_i\geq G_{l-1}-W_{l-1}\land G_r-W_r\geq G_i-W_i\)，对着这些相似的东西记为 \(a,b\)。一次操作就是后缀加。枚举 \(r\)，可以向左找很多合法的点，用掉操作。

\(\max(a_i-\min_{l\leq j\leq r}a'_j)\leq k-\text{已经加的}\)。在线段树上维护巨大的 \(a_i-\min_{1\leq j\leq i}b_j\)，考虑合并，还是一大堆东西。最后线段树二分。

线段树分治

P5787 二分图 /【模板】线段树分治

P3206 [HNOI2010] 城市建设

线段树分治，线段树每个节点上都存了一些边，它们的权值在那一段时间 \([l,r]\) 保持不动，称为静态边；在那一段时间有 \(r-l+1\) 个边的权值发生改变，称为动态边。从根开始 dfs，在外面动态维护一个可撤销并查集，

• 就是说你 dfs 到 \([l,r]\) 的时候并查集里面有一些边已经加入。
• 然后甚至还有一些边从上面扔过来，属于静态边（后面进行循环论证）。

在这个节点上我们做以下事情：

• 将动态边的权值设为 \(-\infty\)，在原有并查集基础上和静态边一起跑 MST。
  • 现在还在 MST 中的静态边，以后无论加哪些动态边（向下递归时动态边的集合一定是现在动态边的子集），它都会在 MST 中。
  • 撤销这次 MST，将刚才说的“还在 MST 中的静态边”加入并查集，不再动它。
• 将动态边的权值设为 \(\infty\)，在现有并查集基础上和静态边一起跑 MST。
  • 现在还不在 MST 中的静态边，说明它太菜，反正递归下去还要加这些静态边，这条边打不过了！
  • 撤销这次 MST，将打不过的边弃掉。
• 向左右儿子递归，带着刚才没被弃掉的、没被加入并查集的边继续它的征程。

证明复杂度：

• 观察到：并查集连通块个数不超过 \(O(len)\)，下传边数不超过 \(O(len)\)。
• 因为在加入 \(len\) 个动态边之后整个图连通，所以结论一成立。
• \(O(len)\) 个连通块的并查集，最多加入 \(O(len)\) 条边，所以向下递归的边肯定也是只有 \(O(len)\) 条。

UOJ503【JOISC2020】扫除

部分分：\(x_i\leq x_{i+1},y_i\leq y_{i+1}\)，不加点：每次改变连续区间。

对每个点 \(i\) 求出第一次被推的时间，推完之后就满足上面那个东西了呢！那么就是要求这个时间，就是矩形查询。

但是加点非常不好做，用线段树分治 1log 代价解决。

P6109 [Ynoi2009] rprmq1（？）

好像是历史最值问题，不会了

树套树

P3380 【模板】二逼平衡树（待写）

第一维线段树维护位置，第二维平衡树维护值。

给定 \([l,r]\) 询问有关 \(k\) 的信息？将 \([l,r]\) 拆成线段树上区间，每个都在平衡树上二分。

kth？首先有一个 3log 的二分做法。实际上我们可以互换一下，第一维是权值线段树维护值，第二维是平衡树维护位置，kth 直接线段树二分，保证 \([l,r]\) 区间内得有那么多值。

P5471 [NOI2019] 弹跳

容易想到一个线段树优化建图的做法，但听说过不去。

观察 dijkstra 的过程，每个点第一次拿出来，就不会再继续更新，所以我们有做法：从起点开始，进行松弛操作，明显这个松弛操作更新的是一个值，那么我们把这个松弛到的矩形和最短路长度放入堆中。每次拿出矩形，反复进行：在矩形中找一个点，枚举这个点松弛，删掉这个点 的操作，不难发现这样非常正确。

P3688 [ZJOI2017] 树状数组（？）

维护操作二所有点对的答案。修改变成矩形修改。树套树。

可持久化

左偏树

堆。\(dis_x\) 表示 \(x\) 走到最近叶子的距离。保证 \(dis_l>dis_r\) 的堆是左偏树，\(dis_x=dis_r+1\)。

合并就是 fhqtreap。因为 \(dis\) 不超过 1log，所以复杂度为 1log。

可持久化：开一个新的点可持久化即可，因为修改点很少。

P4899 [IOI2018] werewolf 狼人

建两个 Kruskal 重构树，变成查询两个子树是否有交。在 dfn 序并拆掉一维之后，变成查询一个区间内是否有数在区间内，主席树问题了。

杂题

P2305 [NOI2014] 购票

自上往下 DP。\(dis_u\) 是 \(u\) 到 \(1\) 的深度，然后有：

\[dp_u=\min_{v\in anc(u),dis_u-dis_v\leq \ell_u}\{(dis_u-dis_v)p_u+q_u+dp_v\}\\ =dis_u p_u+q_u+\min_{v\in anc(u),dis_v\geq dis_u-\ell_u}\{-dis_vp_u+dp_v\}. \]

口胡一个！李超线段树，dfs 下去的时候加入线段树套李超线段树然后想怎么做就怎么做！