题解 Codeforces Round 885 (Div. 2) / CF1848A~F

https://codeforces.com/contest/1848/

VP 选手 前来报到

A. Vika and Her Friends

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/A

Problem

一个 \(n\times m\) 的网格。Vika 和她的朋友们在格子里，他们互相知道彼此的位置。每秒钟，Vika 先移动到相邻格子，朋友在知道 Vika 的位置后也分别移动到相邻格子里，这样以后，Vika 如果与朋友格子重叠，则 Vika 被抓住。Vika 永远都不会被朋友抓住吗？

Solution

考虑 Vika 和其中一个朋友的曼哈顿距离：Vika 走一步，他们的距离要么加一要么减一；朋友也一样。那么每秒后他们的距离，要么不变，要么 \(\pm2\)。那么与 Vika 距离为奇数的朋友，永远抓不到 Vika。与 Vika 距离为偶数的朋友，总能将 Vika 逼到角落将其击杀。

B. Vika and the Bridge

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/B

Problem

长为 \(n\) 的木板上染满颜色。你可以再更改一个区域的颜色。然后选择一些颜色相同的区域，使得他们两两间的距离最大值最小（包括两个边界）。\(n\leq 10^5\)。

Solution

每种颜色分开讨论。间隔最远的区域，在中间染一次颜色。

C. Vika and Price Tags

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/C

Problem

长为 \(n\) 的数列 \(a,b\)。每秒钟进行这样一次操作：

  • 构造 \(c\) 使得 \(c_i=|a_i-b_i|\)。
  • \(a:=b,b:=c\)。

是否存在一个时刻使得 \(a\) 全为 \(0\)？非负整数数列 \(a_i,b_i\leq 10^9\)，\(n\leq 10^5\)。

Solution

每一位分开讨论。观察到如果有零，则变化将形如 \(0,a,a,0,a,a,\cdots\)，以三为一个循环，这启发我们。另一个启发点在于这个减操作和 \(\gcd\) 过程很像，所以最后这个重复的 \(a\) 其实是 \(\gcd\)。

那么我们尝试优化这个 \(\gcd\) 的过程。

int solve(int x,int y){//最终的 0 出现在哪里
	if(!x) return 0;
	if(!y) return 1;
	if(x<=y) return solve(y,y-x)+1;//+1 表示位移一下，对上最终的循环
	return solve(y,x-y)+1;
}

现在 \(x>y\)。回想更经常的求 \(\gcd\) 的方法，应该是 \(\gcd(x,y)=\gcd(y,x\bmod y)\)，这启发我们用模运算优化最后一步。大概写一下这个数列：

\[x,\boxed{y,x-y},\begin{cases}\boxed{x-2y,y}(x\geq 2y)\\2y-x,\cdots(x<2y)\end{cases} \]

那么可以大概发现就是说减掉奇数个和偶数个 \(y\) 是不一样的，对它小小分讨一下。

int t=x%y,d=x/y;
if(d%2==0) return solve(t,y);
else return solve(y,t)+1;

最后想使得整个数组都是 \(0\)，必须保证它们最终的循环节叠在一起。\(0,0\) 开局的请丢掉。

D. Vika and Bonuses

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/D

Problem

有计数器 \(s\geq 0\)，输入给定初值。执行以下二选一个操作，重复 \(k\) 次：

  • \(s:=s+(s\bmod 10)\)
  • 获得 \(s\) 的收益。

使得收益总和最大化。\(s,k\leq 10^9\)。

Solution

发现 \(s:=s+(s\bmod 10)\) 这个操作，如果只看 \(s\bmod 10\)（就是个位），那么它有循环节。不妨拎出单独考虑。

其中 2,4,8,6 明显是环，1,3,7,9 能一步到环，5,0 是孤独的。

另外一个观察是：我们总会先做操作一再做操作二。于是分类讨论：

  • 全部都是收益。
  • 用一个操作一，然后全部都是收益。5,0 到这里可以停止。

剩下的可以走好多次，我也说不好怎么样更优。因为环的长度为 4，我们按模四分类：

  • 进入环后，用 \(4x\) 次操作一，剩下的全点操作二。
  • 进入环后，用 \(4x+1\) 次操作一，剩下的全点操作二。
  • 进入环后，用 \(4x+2\) 次操作一，剩下的全点操作二。
  • 进入环后，用 \(4x+3\) 次操作一，剩下的全点操作二。

我们可以就是在外面动态维护当前可以用的操作次数 \(k\)，在进入环的基础上，先跑一遍，然后 \(k\) 减一，\(s:=s+(s\bmod 10)\)，又跑一遍，重复共四次。这样明显可以。

那么怎么求最大值？考虑将答案写出来：（这个 \(k\) 被改过了，理论上来说应该加角标的，但我不管）

\[ans=(k-4x)(s+20x)=-80x^2+(20k-4s)x+ks,\text{where } 0\leq 4x\leq k \]

开口向下的二次函数，激动人心的求导时刻。那么我们对它求导，找出导数的零点（也就是 \(-\frac{b}{2a}\)）即最大值取值 \(x_0\)，取 \(x_0\) 附近的几个答案和 \(f(0),f(k/4)\)，注意定义域。

E. Vika and Stone Skipping

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/E

Problem

给定 \(X\)。有多少个正整数对 \((x,y)\) 使得 \(x\leq y\)，\(\sum\limits_{i=x}^y=X\)？询问好多次，先给一个 \(X_0\leq 10^9\)，然后告诉你 \(\frac{X_i}{X_{i-1}}\)（小于 \(10^6\) 的正整数），对所有 \(X_i\) 分别求出答案，还有对质数取模。

Solution

不妨先将 \(X\) 翻倍，去掉求和公式里面一个很烦的 \(\frac{1}{2}\)。

\[2\sum\limits_{i=x}^y=2\sum\limits_{i=1}^y-2\sum\limits_{i=1}^{x-1}=y(y+1)-x(x-1)=y^2+y-x^2+x=(x+y)(y-x+1)=2X. \]

这启发我们对 \(2X\) 分解因数。观察到：\((x+y)+(x-y+1)=2x+1\) 是个奇数，这要求我们的这一对因数的和要是奇数。而且一对因数唯一对应一个 \((x,y)\)。

我们分解的竟然是 \(2X\)，不妨把所有 \(2\) 放在一边，选择一些奇数质因子放在另一边。那么我们终于看出方案数是 \(\prod_{x\neq 2}(cnt_x+1)\) 其中 \(cnt_x\) 是 \(2X\) 的唯一分解的出现次数。

这个东西怎么维护呢？这个模数可能很小，可能没有逆元。所以用线段树维护。

F. Vika and Wiki

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/F

Problem

数列 \(a\) 下标从零开始，长度 \(n=2^k\leq 2^{20}\)，值域 \([0,2^{30})\)。每秒钟进行一次操作：所有数字同时 \(a_i:=a_i\oplus a_{(i+1)\bmod n}\)（异或）。求什么时候整个数列清零。我们可以证明方案一定存在。

Solution

先按位拆分手完几个：\(01010101\) 可以两步。我们可以考虑做两次操作意味着什么：(o 表示取这些数字的异或和）

0：o
1：oo
2：o o
3：oooo
4：o   o
5：oo  oo
6：o o o o
7：oooooooo

竟然是分形，又因为一个全零的数列再做操作没啥意义，我们想到二分求这个东西。但是我们似乎求不出来某一行。但是我们能求出 \(2^k-1\) 行（取 \(2^k\) 个数）进一步 \(2^k\) 也可以（甚至更简单），所以倍增。发现惊人事实：这玩意不用按位处理。同时证明不可能无解：第 \(n\) 秒时因为取模，所有数字需要的那两个点重合，所有数字都是零。\(O(n\log n)\)。代码真的很优美

以下更新：

@Morning_Glory
呃我可能说的不好，大概是说你分析两次操作对应原数列哪些数字异或，三次是哪些，四次是哪些，最后发现它像一个杨辉三角的图形，而且第 \(2^j\) 行（即 \(2^j\) 次操作）对应原序列 \(i,i+2^j\) 两个位置的数字的异或和。又因为一个全零数组再操作也是全零，所以使用倍增算法，快速计算进行 \(2^j\) 次操作后序列的样子，然后更新一下指针。证明一定有解是注意到 \(n=2^k\)，当进行 \(2^k\) 次操作时刚好会因为取模把要用的两个数重叠变成 \(0\)，从而变成全零的数组。

这个重要结论也可以通过暴力展开，或者用 \(2^{j-1}\) 叠 \(2^{j-1}\) 归纳证明。

这边 看到一个神奇优化可以线性，就是说搞完一次后数组前后两半是一样的，只用做其中一半就行了。不知道对不对？因为有的倍增点是不用的啊。我不知道。

Codes

posted @ 2023-07-17 13:46  caijianhong  阅读(545)  评论(5)  编辑  收藏  举报