题解 Codeforces Round 885 (Div. 2) / CF1848A~F

https://codeforces.com/contest/1848/

VP 选手 前来报到

A. Vika and Her Friends

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/A

Problem

一个 $n\times m$ 的网格。Vika 和她的朋友们在格子里，他们互相知道彼此的位置。每秒钟，Vika 先移动到相邻格子，朋友在知道 Vika 的位置后也分别移动到相邻格子里，这样以后，Vika 如果与朋友格子重叠，则 Vika 被抓住。Vika 永远都不会被朋友抓住吗？

Solution

考虑 Vika 和其中一个朋友的曼哈顿距离：Vika 走一步，他们的距离要么加一要么减一；朋友也一样。那么每秒后他们的距离，要么不变，要么 $\pm 2$。那么与 Vika 距离为奇数的朋友，永远抓不到 Vika。与 Vika 距离为偶数的朋友，总能将 Vika 逼到角落将其击杀。

B. Vika and the Bridge

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/B

Problem

长为 $n$ 的木板上染满颜色。你可以再更改一个区域的颜色。然后选择一些颜色相同的区域，使得他们两两间的距离最大值最小（包括两个边界）。$n\le {10}^5$。

Solution

每种颜色分开讨论。间隔最远的区域，在中间染一次颜色。

C. Vika and Price Tags

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/C

Problem

长为 $n$ 的数列 $a,b$。每秒钟进行这样一次操作：

• 构造 $c$ 使得 $c_i=|a_i-b_i|$。
• $a:=b,b:=c$。

是否存在一个时刻使得 $a$ 全为 $0$？非负整数数列 $a_i,b_i\le {10}^9$，$n\le {10}^5$。

Solution

每一位分开讨论。观察到如果有零，则变化将形如 $0,a,a,0,a,a,\cdots$，以三为一个循环，这启发我们。另一个启发点在于这个减操作和 $gcd$ 过程很像，所以最后这个重复的 $a$ 其实是 $gcd$。

那么我们尝试优化这个 $gcd$ 的过程。

int solve(int x,int y){//最终的 0 出现在哪里
	if(!x) return 0;
	if(!y) return 1;
	if(x<=y) return solve(y,y-x)+1;//+1 表示位移一下，对上最终的循环
	return solve(y,x-y)+1;
}

现在 $x>y$。回想更经常的求 $gcd$ 的方法，应该是 $gcd(x,y)=gcd(y,xmody)$，这启发我们用模运算优化最后一步。大概写一下这个数列：

$$x,\boxed{{\displaystyle y,x-y}},\{\begin{array}{l}\boxed{{\displaystyle x-2y,y}}(x\ge 2y)\\ 2y-x,\cdots (x<2y)\end{array}$$

那么可以大概发现就是说减掉奇数个和偶数个 $y$ 是不一样的，对它小小分讨一下。

int t=x%y,d=x/y;
if(d%2==0) return solve(t,y);
else return solve(y,t)+1;

最后想使得整个数组都是 $0$，必须保证它们最终的循环节叠在一起。$0,0$ 开局的请丢掉。

D. Vika and Bonuses

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/D

Problem

有计数器 $s\ge 0$，输入给定初值。执行以下二选一个操作，重复 $k$ 次：

• $s:=s+(smod10)$
• 获得 $s$ 的收益。

使得收益总和最大化。$s,k\le {10}^9$。

Solution

发现 $s:=s+(smod10)$ 这个操作，如果只看 $smod10$（就是个位），那么它有循环节。不妨拎出单独考虑。

其中 2,4,8,6 明显是环，1,3,7,9 能一步到环，5,0 是孤独的。

另外一个观察是：我们总会先做操作一再做操作二。于是分类讨论：

• 全部都是收益。
• 用一个操作一，然后全部都是收益。5,0 到这里可以停止。

剩下的可以走好多次，我也说不好怎么样更优。因为环的长度为 4，我们按模四分类：

• 进入环后，用 $4x$ 次操作一，剩下的全点操作二。
• 进入环后，用 $4x+1$ 次操作一，剩下的全点操作二。
• 进入环后，用 $4x+2$ 次操作一，剩下的全点操作二。
• 进入环后，用 $4x+3$ 次操作一，剩下的全点操作二。

我们可以就是在外面动态维护当前可以用的操作次数 $k$，在进入环的基础上，先跑一遍，然后 $k$ 减一，$s:=s+(smod10)$，又跑一遍，重复共四次。这样明显可以。

那么怎么求最大值？考虑将答案写出来：（这个 $k$ 被改过了，理论上来说应该加角标的，但我不管）

$$ans=(k-4x)(s+20x)=-80x^2+(20k-4s)x+ks,\text{where }0\le 4x\le k$$

开口向下的二次函数，激动人心的求导时刻。那么我们对它求导，找出导数的零点（也就是 $-\frac{b}{2a}$）即最大值取值 $x_0$，取 $x_0$ 附近的几个答案和 $f(0),f(k/4)$，注意定义域。

E. Vika and Stone Skipping

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/E

Problem

给定 $X$。有多少个正整数对 $(x,y)$ 使得 $x\le y$，$\sum _{i=x}^y=X$？询问好多次，先给一个 $X_0\le {10}^9$，然后告诉你 $\frac{X_i}{X_{i-1}}$（小于 ${10}^6$ 的正整数），对所有 $X_i$ 分别求出答案，还有对质数取模。

Solution

不妨先将 $X$ 翻倍，去掉求和公式里面一个很烦的 $\frac{1}{2}$。

$$2\sum _{i=x}^y=2\sum _{i=1}^y-2\sum _{i=1}^{x-1}=y(y+1)-x(x-1)=y^2+y-x^2+x=(x+y)(y-x+1)=2X.$$

这启发我们对 $2X$ 分解因数。观察到：$(x+y)+(x-y+1)=2x+1$ 是个奇数，这要求我们的这一对因数的和要是奇数。而且一对因数唯一对应一个 $(x,y)$。

我们分解的竟然是 $2X$，不妨把所有 $2$ 放在一边，选择一些奇数质因子放在另一边。那么我们终于看出方案数是 $\prod _{x\ne 2}(cn{t}_x+1)$ 其中 $cn{t}_x$ 是 $2X$ 的唯一分解的出现次数。

这个东西怎么维护呢？这个模数可能很小，可能没有逆元。所以用线段树维护。

F. Vika and Wiki

https://codeforces.com/problemset/problem/1848/F

Problem

数列 $a$ 下标从零开始，长度 $n=2^k\le 2^{20}$，值域 $[0,2^{30})$。每秒钟进行一次操作：所有数字同时 $a_i:=a_i\oplus a_{(i+1)modn}$（异或）。求什么时候整个数列清零。我们可以证明方案一定存在。

Solution

先按位拆分手完几个：$01010101$ 可以两步。我们可以考虑做两次操作意味着什么：(o 表示取这些数字的异或和）

0：o
1：oo
2：o o
3：oooo
4：o   o
5：oo  oo
6：o o o o
7：oooooooo

竟然是分形，又因为一个全零的数列再做操作没啥意义，我们想到二分求这个东西。但是我们似乎求不出来某一行。但是我们能求出 $2^k-1$ 行（取 $2^k$ 个数）进一步 $2^k$ 也可以（甚至更简单），所以倍增。发现惊人事实：这玩意不用按位处理。同时证明不可能无解：第 $n$ 秒时因为取模，所有数字需要的那两个点重合，所有数字都是零。$O(n\log n)$。代码真的很优美

以下更新：

@Morning_Glory
呃我可能说的不好，大概是说你分析两次操作对应原数列哪些数字异或，三次是哪些，四次是哪些，最后发现它像一个杨辉三角的图形，而且第 $2^j$ 行（即 $2^j$ 次操作）对应原序列 $i,i+2^j$ 两个位置的数字的异或和。又因为一个全零数组再操作也是全零，所以使用倍增算法，快速计算进行 $2^j$ 次操作后序列的样子，然后更新一下指针。证明一定有解是注意到 $n=2^k$，当进行 $2^k$ 次操作时刚好会因为取模把要用的两个数重叠变成 $0$，从而变成全零的数组。

这个重要结论也可以通过暴力展开，或者用 $2^{j-1}$ 叠 $2^{j-1}$ 归纳证明。

这边 看到一个神奇优化可以线性，就是说搞完一次后数组前后两半是一样的，只用做其中一半就行了。不知道对不对？因为有的倍增点是不用的啊。我不知道。

Codes

• A https://codeforces.com/contest/1848/submission/214133160
• B https://codeforces.com/contest/1848/submission/214133557
• C https://codeforces.com/contest/1848/submission/214135462
• D https://codeforces.com/contest/1848/submission/214138752
• E https://codeforces.com/contest/1848/submission/214141512
• F https://codeforces.com/contest/1848/submission/214146206