日记 2023.6.17：2023 syzx 春季训练 11

A

任意两个都不模糊即可，二位数点

还可以异或 hash：对于每条线段，只需要判断在 A/B 内的与它相离的集合是否一样。给每条线段赋随机权值即可。

B（不会）（ok）

计数括号序列，使得对于所有的区间限制，都有这个区间的子串是合法括号序列。

错误：做前缀和，将相等的连起来？

两个区间有交，则交集、两个区间去掉交集这三个都是合法的。两个区间覆盖，小的是，大的减小的也是。

正解：想象每个区间中的位置染色，那么最终颜色集合相同的就是同一个等价类，答案是所有等价类的长度的卡特兰数。异或 hash 染色就是了。

C

2-sat

注意到对称性，甚至并查集

D

2-sat

E（不会）

序列中每个数最多出现四次。将其划分为两个相同的子序列。

对于一个数字，第一次出现的给 0，最后一次出现的给 1，剩下两个有两种选择。故枚举任意两个数字，枚举它们的选择，看一下会不会有冲突。2-sat。

或者这样：如果每个数字出现两次，记为 \((l_i,r_i)\)，那么就是有这些区间不能包含，且答案是所有 \(l\) 分一起。

现在每个数字出现四次，将其拆开，认为是两种不同的颜色（\((1,3)+(2,4)\) 或 \((1,2)+(3,4)\) 两种方案可选），用上面的判定。2-sat。

F

树上极差不大于 \(d\) 的联通块计数，2000。

枚举最大值并钦定它被选。可能需要给一些东西钦定顺序。

\(f_u=\prod_v(f_v+1)\)。共 \(O(n)\) 次 DP。

G（不会）（ok）

树上的点有黑白两色，计数所有断边的方法，使得断出的每个联通块只有一个黑点。2000。

\(f(u,0/1)\) 表示以 \(u\) 为根的连通块中，有 0/1 个黑色的方案数，做完。

H

枚举质数 gcd。数一下直径长度。

I

枚举所有路径。第三个点不能在路径上。点分治统计。

J（不会）

一棵树上游走，求遍历完所有叶子的最小代价，操作如下：（\(n\leq 200\)）

• 免费回到根或存档点。
• 设置存档点为当前点，覆盖之前的。免费。
• 向下走到儿子，花费边权。

设 \(dp(u)\) 表示在 \(u\) 设置存档点，从根出发走完 \(u\) 的所有叶子的最小代价。
枚举所有儿子 \(v\)，将 \(v\) 分为：

• 集合 A 表示这些 \(v\) 我不设置存档点，每次回溯到 \(u\) 到走下去，设 \(f(v)=\sum(u\to leaf)\)
• 集合 B 表示这些 \(v\) 可以设置存档点，但这样就必须回到根。如果将初始的 \(root\to u\) 的并到任意一个 \(v\) 上，那么这部分的代价是 \(dp(v)\)

叶子特判。否则 \(dp(u)=\sum\min(dp(v),g(v))\)。

K（不会）

一棵树（180）。可以选择一些点作为关键点，总花费是 \(\sum d[len]\)，其中 \(len\) 是到最近关键点的距离。

最小化代价。除了 \(d[0]\)，其它的 \(d\) 单调不降。

因为 \(d\) 单调不降，所以对于每个点，它结算不一定要取最近的，放宽限制为随便选一个结算。对答案无影响。

\(f(u,x)\) 表示 \(u\) 在 \(x\) 处结算，子树中其余点全部结算完成。\(x\) 不一定要在子树内。

L（不会）

一棵树，很多询问：给 \(v,k\)，请：

• 删除 \(v\) 子树中的点（不含 \(v\)），删了一个点，它的所有儿子连向父亲。设删了 \(m\) 个点。
• 最大化 \(c-mk\)，\(c\) 表示最终 \(v\) 的儿子数，\(k\) 询问给定。