题解 牛客59248J【Andeviking 开公司 (hard)】
problem
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/59248/J
来源：牛客网
Andeviking 受够了打工人的生活。为了体验一下老板的感觉，他准备自己开一家公司，而一个公司能够高效运转的前提是该公司有一个高效的财务系统。由于 Andeviking 难以接受市面上现有系统的低效，他想让你这个水平高超的 acmer 帮他设计一套财务系统。
公司的人员按照职位高低可以构成一棵有根树，其中 1 号节点为根节点。每个节点的子节点可以看作是该节点的员工，每个节点也可以被看作是该节点的子节点的上司。每个人能且仅能修改自己员工的工资（他当然不可以自己给自己发工资）。每个人在公司中的等级定义为他上司的个数（上司的个数可以看作该点在树上的深度，其中 1 号节点的深度为 0），每人的初始工资将由输入给出 。该财务系统需要支持以下五种操作：
- 将编号为 p 的人的工资改为 x
- 编号为 p 的人将自己员工中比他恰好低 k 级的员工的工资全部改为 x ，若不存在这样的员工，则忽略此次操作
- 编号为 p 的人将自己员工中比他恰好低 k 级的员工的工资全部增加或减少 x，正数代表增加，负数代表减少，0 代表不变，若不存在这样的员工，则忽略此次操作
- 查询编号为 p 的人的工资
- 查询编号为 p 的人的员工中比他恰好低 k 级的员工的工资和，若不存在这样的员工，输出 0
（请不要惊讶于工资可以是负数，作为一位凉心资本家，Andeviking 这样做是很正常的）
Andeviking 的耐心是有限的，他希望你在五小时内设计出满足要求的系统，作为报酬他会让志愿者送你一个气球。作为一个强大的 acmer ，请你帮帮 Andeviking 吧。
\(n,q,x,k\leq 10^5\)
solution
考虑将树拍成 bfs 序，维护 bfs 序。然后用一个支持区间覆盖，区间加，区间求和的数据结构维护它。
我们发现难点在于怎么找到 \(p\) 的子树中比它低 \(k\) 级的点对应的 bfs 序区间，我们可以长链剖分。
长链剖分
参考文章：https://www.cnblogs.com/maoyiting/p/14178833.html
与重链剖分相似，长链剖分是将树剖成很多条长链。
我们定义长儿子，为一个点的儿子中子树深度最大的一个儿子。或者这样定义：
- 给每个点一个 \(height_u\)。叶子节点的 \(height\) 为 \(1\)。
- 则其它所有点的 \(height_u\) 定义为 \(\max_{v\in son}\{height_v\}+1\)，并记录取到 \(height_u\) 的儿子 \(v\) 为长儿子（保留一个）
- 长链就是一条到叶节点的链，满足链上任意一个父亲的儿子是它的长儿子。
有几个性质值得留意：
- 所有长链长度总和为 \(O(n)\)，因为每一个点都只在一个长链中。
- 任意一个节点 \(x\) 的 \(k\) 级祖先 \(y\) 所在长链的长度一定大于等于 k，否则 \(y\) 所在长链应该接到 \(x\) 上去。
- 从一个节点开始向上跳长链，最多跳 \(O(\sqrt{n})\) 次。因为每次跳到的长链长度一定是单调递增的。
长链剖分可以 \(O(n\log n)-O(1)\) 求 LCA，这里我不写了。
长链剖分优化 DP
重写一遍问题：求出 \(p\) 向下 \(k\) 层的子节点在 bfs 序上的编号（明显连续），询问很多次。
那么这个问题有暴力做法：\(f_{u,k}\) 表示答案，然后转移时将儿子们合并起来。\(O(n^2)\)。
长链剖分优化与深度有关的 DP，一句话就是：继承长儿子的答案，暴力合并轻儿子。这样的时间复杂度是线性，因为每条链都在链顶上被暴力合并。
具体地，你 \(solve(u)\) 的时候，如果有长儿子，那么 \(solve(son_u)\)，把长儿子的信息拿过来，并做一次位移以继承，然后枚举轻儿子大力合并。
这个位移有两种做法：一是 vector，反过来存，push_back 一下；二是指针，在链顶开数组，在 \(solve(son_u)\) 时把 \(son_u\) 的 DP 数组定义为 \(u\) 右移一位，即 \(f_{son_u}=f_u+1\)（指针加法）。
那么就做完了。
code
写起来很劲爆，推荐一写。也就 4 KB。
点击查看代码
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr,##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
struct Tag{LL mul,add;};
struct Ans{LL len,ans;};
Tag operator-(Tag a,Tag b){return Tag{a.mul*b.mul,a.add*b.mul+b.add};}
Ans operator+(Ans a,Ans b){return Ans{a.len+b.len,a.ans+b.ans};}
Ans operator*(Ans a,Tag b){return Ans{a.len,a.ans*b.mul+a.len*b.add};}
template<int N> struct segtree{
Tag tag[N<<2]; Ans ans[N<<2];
void maintain(int p){ans[p]=ans[p<<1]+ans[p<<1|1];}
void add(Tag k,int p){ans[p]=ans[p]*k,tag[p]=tag[p]-k;}
void pushdown(int p){add(tag[p],p<<1),add(tag[p],p<<1|1),tag[p]={1,0};}
void build(int p,int l,int r){
tag[p]={1,0};
int mid=(l+r)>>1;
if(l==r) ans[p]={1,0};
else build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r),maintain(p);
}
void modify(Tag k,int L,int R,int p,int l,int r){
if(L==-1) return ;
if(L<=l&&r<=R) return add(k,p);
int mid=(l+r)>>1; pushdown(p);
if(L<=mid) modify(k,L,R,p<<1,l,mid);
if(mid<R) modify(k,L,R,p<<1|1,mid+1,r);
maintain(p);
}
Ans query(int L,int R,int p,int l,int r){
if(L==-1) return {0,0};
if(L<=l&&r<=R) return ans[p];
int mid=(l+r)>>1; Ans res={0,0}; pushdown(p);
if(L<=mid) res=res+query(L,R,p<<1,l,mid);
if(mid<R) res=res+query(L,R,p<<1|1,mid+1,r);
return res;
}
};
int n,Q,a[1<<17],siz[1<<17],hei[1<<17],son[1<<17],dep[1<<17],dfn[1<<17];
vector<int> g[1<<17],cb[1<<17];
vector<pair<int,int>> que[1<<17];
struct ask{int op,l,r,x;} q[1<<17];
void dfs(int u,int fa=0){
dep[u]=dep[fa]+1,siz[u]=1;
cb[dep[u]].push_back(u);
for(int v:g[u]) if(v!=fa){
dfs(v,u);
siz[u]+=siz[v];
if(hei[son[u]]<hei[v]) son[u]=v;
}
hei[u]=hei[son[u]]+1;
}
void bfs(){
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int u:cb[i]) dfn[u]=++cnt;
}
}
typedef pair<int,int> segm;
segm merge(segm a,segm b){
return {min(a.first,b.first),max(a.second,b.second)};
}
segm* f[1<<17],tmp[1<<17],*now=tmp;
void solve(int u,int fa=0){
f[u][0]={dfn[u],dfn[u]};
if(son[u]) f[son[u]]=f[u]+1,solve(son[u],u);
for(int v:g[u]) if(v!=fa&&v!=son[u]){
f[v]=now,now+=hei[v],solve(v,u);
for(int i=0;i<hei[v];i++) f[u][i+1]=merge(f[u][i+1],f[v][i]);
}
for(auto p:que[u]){
if(p.first<hei[u]){
q[p.second].l=f[u][p.first].first;
q[p.second].r=f[u][p.first].second;
}else q[p.second].l=-1;
}
}
/*
vector<segm> f[1<<17];
void solve(int u,int fa=0){
if(son[u]) solve(son[u],u),swap(f[u],f[son[u]]);
f[u].push_back({dfn[u],dfn[u]});
auto get=[&](int u,int k)->segm&{return f[u][hei[u]-k-1];};
for(int v:g[u]) if(v!=fa&&v!=son[u]){
solve(v,u);
for(int i=0;i<hei[v];i++) get(u,i+1)=merge(get(u,i+1),get(v,i));
}
for(auto p:que[u]){
if(p.first<hei[u]){
q[p.second].l=get(u,p.first).first;
q[p.second].r=get(u,p.first).second;
}else q[p.second].l=-1;
}
}
*/
segtree<1<<17> t;
int main(){
// #ifdef LOCAL
// freopen("input.in","r",stdin);
// #endif
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
dfs(1),bfs();
scanf("%d",&Q);
for(int i=1,p,k;i<=Q;i++){
scanf("%d",&q[i].op);
switch(q[i].op){
case 1: scanf("%d%d",&p,&q[i].x),q[i].l=q[i].r=dfn[p]; break;
case 4: scanf("%d",&p),q[i].l=q[i].r=dfn[p]; break;
case 2: scanf("%d%d%d",&p,&k,&q[i].x),que[p].emplace_back(k,i); break;
case 3: scanf("%d%d%d",&p,&k,&q[i].x),que[p].emplace_back(k,i); break;
case 5: scanf("%d%d",&p,&k),que[p].emplace_back(k,i); break;
}
}
f[1]=now,now+=hei[1],solve(1),t.build(1,1,n);
for(int i=1;i<=n;i++) t.modify({0,a[i]},dfn[i],dfn[i],1,1,n);
for(int i=1;i<=Q;i++){
LL x=q[i].x;
switch(q[i].op){
case 1: t.modify({0,x},q[i].l,q[i].r,1,1,n); break;
case 2: t.modify({0,x},q[i].l,q[i].r,1,1,n); break;
case 3: t.modify({1,x},q[i].l,q[i].r,1,1,n); break;
case 4: printf("%lld\n",t.query(q[i].l,q[i].r,1,1,n).ans); break;
case 5: printf("%lld\n",t.query(q[i].l,q[i].r,1,1,n).ans); break;
}
}
return 0;
}
其实不需要离线，如果是指针。
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