日记 2023.5.20:2023 syzx 春季训练 9
A
差分,操作分为:合并、删极左/极右
先手一定会删。
考虑先手删完之后,最中间的点不可能被删。
考虑加入后手,如果先手删左,我就把中间的和右边合并;否则反之。那么这样子不会使得先手能拿到的状态更优。
那么仔细思考一下,最终答案是 \(\max_i\{a_i+a_{i+n/2}\}\),当然要排序。
B
状态数极少。\(dp(x,y,z)\) 表示这个状态必胜(1)或必败(0)。
如果它的所有转移都是必胜,你必败;如果有一个必败,你必胜。
所以可以有一个 \(O(300^4)\) 的做法。
bitset/前缀和。
C
模完一个小的数,再模一个大的数,毫无意义。
所以只考虑前缀最小值。
D
meet in middle.
trie/hash.
或者:对每次考试赋一个随机权值,考虑知道选什么的时候,按列考虑,如果对了就拿到那一场考试的分,最终对比和右边是否相等。最后枚举答案即可。
E
\(k^v\bmod (k+1)\in\{1,k\}\)
当对手取一,我就取 \(k\);当对手取 \(k\),我就取 \(1\);还有一种轮流拿一的。
即,循环节为 \(k+1\)。
F
如果用第一种操作,那么 \(\log\) 次就能收敛。
如果它导向一个必败态,令 \(B=b-b\%a\),那么我们会试图去拿一些 \(a^k\) 去减。同时除以 \(a\),回到了 E。
G
每个游戏是单独的。考虑算出每个游戏的 sg 值之后异或,等于零就必败。
考虑打表 sg。
发现真的分形。
H
分解质因数,分解成独立的游戏。
预处理 \(2^{20}\) 以内的 sg,往上的转移极少(考虑最高位变化,最多减 \(9\) 就能到达预处理的地方)
I
\(p^k\) 之间有影响,把它们化为独立的游戏。
直接暴力求出 sg。其实很少。
J
切完之后的游戏是独立的。
旋转一下,暴力求 sg。
K
\(t_i+1\) 等于 \([i,n]\) 的前缀最小值数量。
若已知 \([i+1,n]\) 的方案数,考虑放入 \(i\),\([i,n]\) 的前缀最小值一定在 \([i+1,n]\) 的前缀最小值与 \(i\) 当中。(注意这里是动态的,放进去之后还要交换)
所以 \([*]=\prod\binom{c_{i+1}+1}{c_i}\)
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