日记 2023.5.2：2023 syzx 春季训练 7

A

\(f(i,j)\to^k f(i+1,(10j+a_k)\bmod k\)，表示第 \(i\) 位填完，现在模 \(X\) 等于 \(j\)。

状态只有 \(10^9\times 100\)，转移可以考虑相同的优化到 \(9\)。

矩阵刻画之。\(O(9BX)\to O(X^3\log B)\)

B

\(cnt_i==cnt_{i+n}\)。

\(f_{i,j}=\sum_x f_{i-1,j-x}\binom{n}{x}\)。可以求出 \(f_{n,k}\)。

假设第 \(i\) 列出现 \(c=m/n+[m\bmod n<i]\)（反正差不多），作为指数加到 binom 上。答案为 \(f_{n,k}\)。\(O(n^3\times n)\)

C

\(left_2\geq left_1,righ_2\leq righ_1,left_1=righ_1,righ_2=righ_2\to left_1=left_2=righ_1=righ_2\)。

所以全部颜色数相同，左右两列颜色大小一样，中间的都是它们的子集。

\(\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^a\binom k a\binom a b\binom{k-a}{a-b}\times w\) 分别是左中右（被子集限定，剩下的不和第一列重）选颜色的方案数。

\(w\) 表示 \(n\) 个东西分 \(a\) 类（第二类斯特林数）乘排列，这是左右，\(w^2\)；中间可以使子集里的任何颜色，是乘方。

D

首先使得两只乌龟向下或向右走一步，终点类似，使他们完全不重合。

算出不重合的方案数就是总数减相交的。第一次相交时，使它们交换终点，形成双射。

更多的乌龟可以 LGV 引理（算行列式）

E

AC 自动机。\(dp(pos,len,S)\)，枚举下一个字符。\(S\) 是是否出现过 a,A,0 的状压。

所有 \(pos\) 不合法的地方（某个单词的结尾）都要寄。

F

去掉 \(\mu=0\) 的数，还有巨大的质数，压在一起。

G

钦定重心。奇数是重心唯一，偶数可能两个。

对于非重心的地方，考虑为了不同构，每个儿子的 \(siz\) 必须递增，\(f(n,i,j)\) 表示已经有 \(n\) 个点，放好 \(i\) 个儿子，上一个儿子的 \(siz\) 为 \(j\)。

要么不管，转移到 \(f(n,i,j+1)\)；要么枚举放 \(k\) 个 \(j+1\) 个点的子树，\(f(n+k(j+1),i+k,j+1)\)。
注意这里有系数：令 \(g(j+1,k)\) 表示大小为 \(j+1\) 的子树，\(k\) 棵的方案数，做一个划分。\(g(j,k)=\binom{f(j,d-1,j)+k-1}{k-1}\)
（将每种方案看为颜色，那么这些颜色出现 0 到无穷多次，或者说强制排序，插板）
（由 Lucas 得上面那个 \(f\) 可以随意模，算也暴力算，因为 \(d\) 太小了）

重心一模一样，就是边界。如果有两个重心，它们肯定相邻，那么把边拎出来当做超级重心，两边的 \(siz\) 恰好为 \(n/2\)。

H（DNF）

\[x^k=\sum_{i=1}^x{k\brace i}x^{\underline i} \]

组合意义：\(x\) 种颜色放进 \(k\) 个方格，可以枚举放了一共 \(i\) 种颜色。第二类斯特林数 \(S(n,k)\) 表示把 \(n\) 个不同的球放进 \(k\) 个相同的盒子的方案数，然后全排列盒子。

\[(x+1)^{\underline k}=x^{\underline k}+kx^{\underline{k-1}} \]

差分得到。

（未完待续）

I

一波二项式反演变成钦定。

一维 DP。状压 \(i-1,i,i+1\) 的选择（或者这个 \(i+1\) 也不用关心）。

J（DNF）

预处理 \(C(i)\) 表示 \(d_i\) 被 \(\{u_k\}\) 表示的集合方案数。背包。

开始背包！

怎么是 1e18？

矩阵快速幂。

一点优化：常系数递推矩阵（BM），可以分治，先到中间，\(m=n/2\)，则 \(1\to m\to m+1\to n\) 这些过程相同而且 \(O(n^2)\)。

K

第一个公式：\(E[\text{最早全部完成}]=E[\max f_i]\)

（\(f_i\) 是第 \(i\) 个什么东西 第一次 满足条件的时间，不是期望）

第二个公式：\(E[\max S]=\sum_{T\subseteq S}E[\min T](-1)^{|T|}.\)

（min-max 反演，反过来也行，甚至去掉 Exp，不是 Exp 也行。）

现在考虑 \(E[\min T]\)，就是最早第一次满足这个玩意的期望。

考虑有多大的概率做到这件事，称概率为 \(prb\)，则

第三个定理：重复做同一件事情，成功的概率为 \(prb\)，则期望第一次做成功的时间是 \(\frac{1}{prb}\)

概率乘上总方案数变成合法方案数，总方案数再减一次变成不合法，所以可以暴力。

考虑一起算，算出这个次数出现多少次，那么可以随意 dp 了。