日记 2023.3.17：2023 syzx 春季训练 3

题目链接

phtoi

QOJ

#5817	小学生数学题GDKOI 2023 普及组 Day 1	[0]
#5818	MacaronGDKOI 2023 普及组 Day 1	[-1]
#5819	淋雨GDKOI 2023 普及组 Day 1	[0]
#5820	置换GDKOI 2023 普及组 Day 1	[0]
#5821	交换机GDKOI 2023 普及组 Day 2	[0]
#5822	城市建设GDKOI 2023 普及组 Day 2	[0]
#5823	海星GDKOI 2023 普及组 Day 2	[0]
#5824	HimitsuGDKOI 2023 普及组 Day 2	[0]
#5825	矩阵GDKOI 2023 提高组 Day 1	[0]
#5826	错排GDKOI 2023 提高组 Day 1	[+2]
#5827	异或图GDKOI 2023 提高组 Day 1	[+2]
#5828	游戏GDKOI 2023 提高组 Day 2	[+2]
#5829	马戏团里你最忙GDKOI 2023 提高组 Day 2	[0]
#5830	树GDKOI 2023 提高组 Day 2

GDKOI2023选手成绩单、题目、数据参见：
https://gdoi.gdcpc.cn/file/certs/

题目数据在内部公开，密码为：
## 提高Day1
### 题面
@Hao*#Jiu/Bu^Jian@
### 数据
HI/Sa!SHI&Bu!RI
## 提高Day2
### 题面
@Xia//Ci&Zai*Lai@
### 数据
MA#TA$$A^SHI&TA
## 普及Day1
### 题面
hi$sa@shi&bu!ri
### 数据
@hAo*#jIu/bU^jIan@
## 普及Day2
### 题面
ma#ta$a^shi&ta
### 数据
(xiA\\cI&zaI*laI)

A（PJD1T3）

先别管起始点。假装 \(f_i\) 是在 \(t_i\) 时刻时那个人在 \(x_i\)。

\[f_i=1+\max_{j<i,check(j,i)}f_j. \]

重点在于：

\[check(j,i)=[\frac{|x_i-x_j|}{t_i-t_j}\leq V] \]

\[=[|x_i-x_j|\leq V(t_i-t_j)]=[|x_i-x_j|\leq Vt_i-Vt_j)] \]

若 \(x_i<x_j\)，

\[check(j,i)=[x_j-x_i\leq Vt_i-Vt_j]=[-x_i-Vt_i\leq-Vt_j-x_j] \]

否则

\[check(j,i)=[x_i-x_j\leq Vt_i-Vt_j]=[x_i-Vt_i\leq x_j-Vt_j] \]

---

以下看了题解。

我们可以认为，这两个东西需要同时满足，因为一个满足了另一个也满足了。

再分讨 \(t_i<t_j\)，得到：\(check(j,i)=check(i,j)\)，简单来说就是可以不管。

所以就是平面上一些点 \((-x_i-Vt_i,x_i-Vt_i)\)，然后要求一个不降子序列，\(x,y\) 分别单调这样子。

对于第一问，加入并强制选择 \(0\) 号点。对于第二问，没有任何限制。

对着 \(x\) 排序，变成了最长不降子序列问题。

B（PJD1T2）

一个类似扫描线的东西，反正乱做

C（PJD2T4）

flow

PJD1T4

一个置换珂以拆成很多个置换环。

结论：一个长度为 \(len\) 的置换环经过 \(k\) 次操作后会拆成 \(\gcd(len,k)\) 个环。

考虑输出最终序列长度为 \(len\) 的置换环有 \(cnt_{len}\) 个，那么长度不一样的环不可能在 \(k\) 步之前在一起，
所以不同的 \(len\) 珂以分开，最终乘起来。

当 \(len\) 为常数时，

\[f(cnt)=\sum_{i\leq cnt}f(cnt-i)\binom{cnt-1}{i-1}(i-1)!len^{i-1}[\gcd(i\times len,k]=i] \]

最后一个变成 \(i|k\) 可大大减少枚举量。

PJD2T2

整除分块，尽量均分。

POJ3318（TGD1T1）

为什么暴力都错啊。

TGD1T2

莫队。推关于 \(i,j\) 不变的递推式。

TGD1T3

数位 DP 部分：枚举哪一位哪一个数没顶满了，其他数可以乱填。\(O(n\loh V)\)

考虑容斥，钦定一些边是相同的，别的边没有限制，这样形成好多个连通块。如果大小为偶数珂以扔掉，否则限制是这个连通块的最小值，然后把这些最小值拎出来数位 DP。

钦定哪些边相同未免有些暴力，不如枚举最终的连通块。我们求出 \(g_S\) 表示点集 \(S\) 形成的连通块的容斥系数（\((-1)^{|E'|}\)）

\[g_S=0^{|E_S|}-\sum_{x\in T\subseteq S}g_T. \]

用 \(f_{S,T}\) 表示：当前考虑了点集 \(S\)，最终要加入数位 DP 的最小值有 \(T\)。枚举新的连通块 \(K\)，随意转移。最后拎出所有 \(f_{U,T}\) 数位 DP。

\(O(4^n)\)。

G（TGD2T1）

找直径。

在直径下挂的最长的链尾为答案。

TGD2T3

\(a\oplus b=a+b-2(a\text{ and }b)\)

考虑按照深度扫描线，拍成 dfn 序在树状数组上。

考虑加法：分别维护 \(w,dep,cnt\)，然后就硬扫

考虑 AND，考虑拆位，但是这里要减去 \(dep_u\) 所以不太好直接拆。
考虑深度 %2=0,%2=1,%4=0,%4=1,%4=2,%4=3,... 这样就能对着减，维护贡献。但感觉是假的。