【笔记】简单解析几何（OI 无关）
首先我不太清楚什么是解析几何什么是计算几何，总之在这里它指在平面内的一些计算。
向量
见 题解 HDU3629【Convex】—— prework：向量。内容很少。
向量运算的性质定理
以下是一些小性质，或者叫定义，我不知道：
- \(\vec a\times\vec b=X_aY_b-X_bY_a\)。（叉乘的本质是二维行列式）
- 平行判定：\(a//b\Leftrightarrow\vec a\times \vec b=0\)。
- 垂直判定：\(a\perp b\Leftrightarrow\vec a\cdot \vec b=0\)。
- 模长：\(|a|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a\cdot a}\)。
- 辐角：\(\theta=\arctan \frac{y}{x}\)。
当然我们这是数学不是 OI，所以以下我们暂时不管过程啊。要写过程就怎么呢，过点 A 作 \(x\) 轴、\(y\) 轴的垂线，云云，不管。
一次函数
\(y=kx+b\) 这种一次函数怎么搞？我们叫 \(k\) 为斜率，\(b\) 为截距（与 \(y\) 轴交点的 \(y\) 坐标）。
- 过两点插直线：求 \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，然后它可以写成 \(y-y_1=k(x-x_1)\) 并化简它。千万不要待定系数法，太慢了。
- 两直线求交：联立两个直线方程。
- 两直线平行判定：斜率相同。
- 两直线垂直判定：斜率的乘积为 \(-1\)。
垂直平分线
中点公式：\((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\)。
首先求中点，然后这条线的斜率是已知的，然后插就是了。
点到直线的距离
直线 \(l:Ax+By+C=0\)，点 \(P(x_0,y_0)\)，则点 \(P\) 到直线 \(l\) 的距离为：
因为 \(y=kx+b\Rightarrow kx-y+b=0\)，所以也写作
三角函数
就是三角函数的东西，见 题解 HDU3629【Convex】—— prework：三角函数初步。内容很少。
另外有 \(\cot x=\dfrac 1 {\tan x}, \csc x = \dfrac 1 {\sin x}, \sec x = \dfrac 1 {\cos x}\)
和积化差
主要是这两个公式：
- \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
- \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\begin{bmatrix}\sin,\cos\\\cos,-\sin\end{bmatrix}\alpha+\begin{bmatrix}\cos,\sin\\\cos,\sin\end{bmatrix}\beta\)
其它都可以推，都可以推。
推一下：
再推就是 \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)。这里为后文埋下伏笔（那还叫伏笔？）
诱导
| \(\alpha\) | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| \(2\pi+\alpha\) | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
| \(2\pi-\alpha\) | \(-\sin\) | \(\cos\) | \(-\tan\) |
| \(\pi+\alpha\) | \(-\sin\) | \(-\cos\) | \(\tan\) |
| \(\pi-\alpha\) | \(\sin\) | \(-\cos\) | \(-\tan\) |
| \(\pi/2+\alpha\) | \(\cos\) | \(-\sin\) | \(-\tan^{-1}\) |
| \(\pi/2-\alpha\) | \(\cos\) | \(\sin\) | \(\tan^{-1}\) |
| \(3\pi/2+\alpha\) | \(-\cos\) | \(\sin\) | \(-\tan^{-1}\) |
| \(3\pi/2-\alpha\) | \(-\cos\) | \(-\sin\) | \(\tan^{-1}\) |
看的方法：如 \(\cos(\pi/2+\alpha)=-\sin\alpha\)（交错组合）
特殊角
- \(0,2\pi=360^\circ\) 对应 \((1,0)\) 这个点。
- \(\pi/2=90^\circ\) 对应 \((0,1)\) 这个点。
- \(\pi=180^\circ\) 对应 \((-1,0)\) 这个点。
- \(3\pi/2=270^\circ\) 对应 \((0,-1)\) 这个点。
- \(\pi/6=30^\circ\) 对应的是 \((\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\)。等边三角形。
- \(\pi/4=45^\circ\) 对应的是 \((\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)。
余弦定理
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
正弦定理
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r\)，\(r\) 是外接圆半径。
你发现有了这两个定理，给出 SSS（余弦），SAS（余弦），AAS（正弦），ASA（正弦） 的三角形，从理论上来说都可以解三角形。
三角形的面积
\(\Delta ABC\)，则 \(S=|\frac{1}{2}(\vec{AB}\times\vec{AC})|\)。
平行四边形
平行四边形 \(ABCD\)（已经有顺序了），判定的原则是：\(\vec{AD}=\vec{BC}\)，或者反过来，就是平行且相等。
这里我们思考一个问题：已知点 \(A,B,C\)，求剩下一个点 \(D\) 使它们组成平行四边形的方案数。一共六种，\(3\) 个重根，剩下的分别是：
- \(A+\vec{BC}\)
- \(B+\vec{CA}\)
- \(C+\vec{AB}\)
等腰三角形
判定就是 \(AB=AC\)，没有别的很好的办法了。
但是一个好玩的：已知点 \(A,B\)，求点 \(C\) 使得 \(\Delta ABC\) 为等腰三角形，我们欣赏一下：
那些线都是
所以如果问方案数的，你画一次这个图，然后用一条直线截它就行了。
直角三角形
勾股定理：\(\angle C=90^\circ\Leftrightarrow AC^2+BC^2=AB^2\)。
但是一个好玩的：已知点 \(A,B\)，求点 \(C\) 使得 \(\Delta ABC\) 为直角三角形，我们欣赏一下：
好玩的图像
等腰直角三角形
法一
等腰 \(Rt\Delta ABC\)，其中 \(\angle B=90^\circ\)，它的判定是什么？
- \(|\vec{AB}|=|\vec{BC}|\)
- \(AB\perp BC\)
我们仔细思考一下会发现：其实是 \(\vec{BA}=(x_1,y_1)\) 和 \(\vec{BC}=(x_2,y_2)\)，然后 \(x_1=y_2,x_2+y_1=0\) 或 \(x_2=y_1,x_1+y_2=0\)。证明是感性理解。
这是暴力做法，纯正几何做法是一线三垂直。但都搞到这份上了，就不管过程之类的了。
法二
注意到等腰直角三角形的一个角是 \(45^\circ=\pi/4\)，有的题目就会问你，一条直线旋转 \(\pi/4\) 之后与另一条直线的交点是什么，这种的几何做法还是一线三等角，但我们可以给它进行降维打击：
注意到 \(\sin\pi/4=\cos\pi/4=\sqrt{2}/2\)（什么你问我怎么证？考虑 \(\sin^2+\cos^2=1\)）。所以 \(\tan\pi/4=1\)。
令要旋转直线的斜率是 \(k\)，我们要求的新直线的斜率是（以逆时针为例，顺时针取负倒数）：
所以是降维打击。
你能解释为什么对于函数 \(f(x)=\frac{1+x}{1-x}\)，总有 \(f(f(f(f(x))))=x\) 了吗？什么时候会出现除以 \(0\)？
法三
三个点 \(A,B,C\)，如果 \(AB\) 很好求，点 \(C\) 到 \(AB\) 的距离很好求（有时表现为点 \(C\) 在坐标轴上且 \(AB\) 平行于那条坐标轴），我们叫做 \(h\)。
那么分讨很少：
- \(AB=h\)。这是 \(AB\) 为一条腰的情况。
- \(AB=2h\)。这是 \(AB\) 为底的情况。
等腰三角形“三线合一”：等腰三角形中，底边的中线、顶角的角平分线、底边上的高，互相重合。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
于是可以很快乐的求出点 \(A,B\)，至于 \(C\)，如果是第一种情况就注意一下两边都有可能做垂线，第二种情况就做 \(AB\) 的垂直平分线之类的东西。
暂时写到这里，去写作业。
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