日记 2022.12.17：22年实验中学秋季训练 6

A. gym103428m

问有多少个长度为 \(n\) 的 01 串，其中有 \(m\) 个是 1，且最长连续的 1 的长度恰好是 \(k\)。数据范围 \(10^5\)。

Trick 1

容斥系数怎么算？

Trick 2

限制了这个串的长度和 \(1\) 的个数，这意味着什么？插板的东西是什么？

solution

错解

明显不顾最长连续段限制答案是 $g(n,m)=\binom{n}{m}$。

然后我们令 \(f_k\) 表示当最长连续的 \(1\) 的长度至多为 \(k\) 的方案数。做法我猜是这样的：

• 先猜有 \(i\) 个连续段的长度飞出去了（\(>k\)），我们把它们的长度减掉 \(k\)，然后数：\(g(n-ki,m-ki)\)。
• 盲猜容斥系数为 \((-1)^i\)，所以 \(f_k=\sum_i (-1)^i g(n-ki,m-ki)\)。
• 明显这位选手没有考虑到容斥原理外面还有组合数的问题。

明显不顾最长连续段限制答案是 \(g(n,m)=\binom{n}{m}\)。

明显一共有 \(a=n-m\) 个零，相当于是将 \(m\) 个小球放入 \(a+1\) 个盒子里，要求每个盒子最少 \(0\) 个最多 \(k\) 个的方案数，我们记这个东西的答案为 \(h(m,a+1,k)\)，最终答案为 \(h(m,a+1,k)-h(m,a+1,k-1)\)。

着力解决 \(h(n,m,k)\)：将 \(n\) 个相同的小球放入 \(m\) 个互不相同的盒子里，要求每个盒子最少 \(0\) 个最多 \(k\) 个的方案数（变量名换了哦）

• 辅助 \(g(n,m)\)：将 \(n\) 个相同的小球放入 \(m\) 个互不相同的盒子里，要求每个盒子最少 \(0\) 个最多 \(k\) 个的方案数，明显 \(g(n,m)=\binom{n+m-1}{m-1}\)。
• 容斥。考虑钦定 \(i\) 个盒子溢出了，将这些盒子的球数减去 \((k+1)\)。现在数一下：\(\Delta=i(k+1),ans=g(n-\Delta,m)\)。
• 盲猜容斥系数为 \((-1)^i\binom{m}{i}\)，所以 \(h(n,m,k)=\sum_{0\leq i} (-1)^i\binom{m}{i}g(n-\Delta,m)\)。

扩展：\(H(n,m,[L,R])\) 表示将 \(n\) 个相同的小球放入 \(m\) 个互不相同的盒子里，要求每个盒子最少 \(L\) 个最多 \(R\) 个的方案数，很不幸它是 \(h(n-mL,m,R-L)\)。

G. AGC059C

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H. CF1109D

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I. CF1762E

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