完全背包

学习了01背包，现在进一步探讨递推关系，完全背包问题

题目：有n种重量和价值分别为wi,vi的物品，从这些物品种选出总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件

限制条件：1<=n<=100,1<=wi,vi<=100,1<=W<=10000

输入：n=3   (w,v)=((3,4),(4,5),(2,3)) W=7

输出：10

和01背包相比，这次同一种类的物品可以选择任意多件。 我们试着写出递推关系

令dp[i+1[j]:=从第i个物品到第n-1个物品中挑选总总量不超过j时总价值的最大值。 那么递推关系为：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-k*w[i]]+k*v[i])

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<set>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,m;
int dp[1100][1100];
int w[1100],v[1100];
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][m]);
    return 0;
}

　　上面一种算法有三重循环，复杂度可能达到(n*m*m),这样并不够好，其实在这里有重复的计算

在dp[i+1][j]的计算中选择k(k>=1)个的情况，与在dp[i+1][j-w[i]]的计算中选择k-1个的情况是相同的，所以dp[i+1][j]的递推中k>=1部分的计算中已经在dp[i+1][j-w[i]]的计算中完成了。所以可以推出下列递推式

dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])

所以有下列更高效的代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<set>
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,m;
int dp[1100][1100];
int w[1100],v[1100];
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            if(j<w[i])
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            else
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][m]);
    return 0;
}

　　

题目链接：https://vjudge.net/contest/216347#problem/F

个人思路：刚刚开始学dp,写不太出来状态转移方程，知道这是完全背包，但是就是写不出来状态转移方程，后来搜了题解，

在这里dp[j],表示重量为j时最小价值，注意初始化dp[0]等于0,为什么呢，因为这是给所有dp计算的基础，刚开始当j-w[i]能减到0时，代表能整除，也就能赋值了

这样递归下去就是所求答案

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<set>
typedef long long ll;
using namespace std;
#define INF 1e9+7
int w[510],v[510];
int dp[10005];//dp[j]表示重量为j时，价值最小值
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int e,f,n,sum;
        scanf("%d%d%d",&e,&f,&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
        sum=f-e;
        fill(dp,dp+10000,INF);
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=w[i];j<=sum;j++)
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
        if(dp[sum]==INF)
            printf("This is impossible.\n");
        else
            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[sum]);
    }
    return 0;
}