k倍区间

标题： k倍区间

给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入
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第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出
-----
输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5

程序应该输出：
6

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回0;
只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

 

 思路：其实很容易想到的是两层for暴力  这个就没什么好讲的了，但是很明显，这样子是过不了所有的样例的，

很多时候很多题目真的就是分析表达式，下面看一下这一道题的分析：

求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum[i]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum[r] - sum[l-1]就是区间[l,r]的和。区间[l,r]的和是k的倍数即(sum[r] - sum[l-1])%k == 0 即sum[r]%k == sum[l-1]%k
　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？
我们用一个数组cnt[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：
　　数列 1 2 3 4 5   mod = 2
　　对前1个数的和取模， 为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0
　　对前2个数的和取模， 为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1
　　对前3个数的和取模， 为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0
　　对前4个数的和取模， 为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1
　　对钱5个数的和取模， 为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2
　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即[0,i]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上 加上前缀和取模后为0的个数 即ans+2 = 6;
看代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=1000+50;
typedef long long LL;
int main()
{
    LL N,K;
    cin>>N>>K;
    LL a[maxn],sum[maxn],cnt[maxn];
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin>>a[i];
        sum[i]=a[i]+sum[i-1];
        int v=sum[i]%K;
        ans+=cnt[v];
        cnt[v]++;
    }
    cout<<ans+cnt[0]<<endl;
    return 0;
}