扩展欧几里得算法

内容：已知a, b，求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by =gcd(a, b)

 

扩展欧几里得算法，就和它的名字一样是对欧几里得算法的扩展。何为扩展？一是，该算法保留了欧几里得算法的本质，可以求a与b的最大公约数。二是，已知a, b求解二元一次方程ax+by =gcd(a, b)的一组解（x，y）。

 

证明：

 

假设 a>b,

(1)  b=0  gcd(a,b) = a ,  ax = a ,  则x=1，y=0;（这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数，而是一个计算机求出来的值）

(2) 假设 ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，

ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，即ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

 

在根据多项式恒等定理（把a,b看成变量），x1=y2; y1=x2-a/b*y2;

 

（表面上看，就是已知方程一的一组解，可以得到方程二的一组解，已知方程二的一组解，就可以得到方程一的一组解，但是实际情况是，不可能先知道方程一的解（x1,y1）。）上述思想是递归定义的，不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b)，到b=0（y的系数为0）时，由(1)的解，根据解之间的关系，最终可以得到方程ax+by =gcd(a, b)的解。

 

递归形式代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)//这里跟欧几里得算法一样
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    int x2=x;//这里是推的公式
    int y2=y;
    x=y2;
    y=x2-(a/b)*y2;
    return gcd;
}
int main()
{
    int x,y,a,b;
    cin>>a>>b;

    cout<<"a b的最大公约数是："<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
    cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<x<<","<<y<<endl;
    /*
    那么我们要求很多组解怎么办呢？
    有两个公式
    x1=x2+k*b1  (b1=b/gcd(a,b)
    y1=y2-k*a1  (a1=a/gcd(a,b)
    */
    
    return 0;
}

 

如果要求多个解也很简单 :

假设求出了ax+by=gcd(a,b)的一组解 x1,y1  假设第二组解为x2,y2  则ax1+by1=ax2+by2(因为他们都等于gcd(a,b))   变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)  假设gcd(a,b)=g   方程两边同除以g

得a1(x1-x2)=b1(y2-y1)  其中a1=a/g   b1=b/g   注意此时a1与b1互素  因此x1-x2一定是b1的整数倍（因为要想两者相等 一定要把b1约掉）设（x1-x2）为kb1   所以有y2-y1=ka1  

所以就得到下面的公式了

x1=x2+k*b1 (b1=b/gcd(a,b)
y1=y2-k*a1 (a1=a/gcd(a,b)   这样就可以求得多个解了。

 

当题目中要求我们求ax+by=c时  这个怎么求呢？  很简单  求得ax+by=gcd(a,b)的一组解 然后乘以c/gcd(a,b)就行了    如果c/gcd(a,b)不为整数 则没有整数解！！

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)//这里跟欧几里得算法一样
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    int x2=x;//这里是推的公式
    int y2=y;
    x=y2;
    y=x2-(a/b)*y2;
    return gcd;
}
int main()
{
    int x,y,a,b;
    cin>>a>>b;

    cout<<"a b的最大公约数是："<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
    cout<<"ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:"<<x<<","<<y<<endl;

    /*
    那么我们要求很多组解怎么办呢？
    有两个公式
    x1=x2+k*b1  (b1=b/gcd(a,b)
    y1=y2-k*a1  (a1=a/gcd(a,b)
    */

    int c;
    cin>>c;
    double z=1.0*c/exgcd(a,b,x,y);
    cout<<"ax+by=c 的一组解是:"<<x*z<<","<<y*z<<endl;
    return 0;
}