CF280C Game on Tree题解

题目描述

给定一棵有根树，结点编号从 1 到 n 。根结点为 1 号结点。对于每一次操作，等概率的选择一个尚未被删去的结点并将它及其子树全部删去。当所有结点被删除之后游戏结束。也就是说，删除 1 号结点后游戏即结束。
要求求出删除所有结点的期望操作次数。

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不是哥们，我好不容易国庆回来玩玩 oi ，你就这么恶搞我。

众所周知， \(e=\sum{x_i * p_i}\) ，那么我们累计每个节点对于答案的贡献，如果这个节点不是被选中删除（而是在选中祖先时被连带删除），那么这个节点是不会对答案有贡献的。又考虑到，即使这个节点的所有子节点都被删除，这个节点对答案的贡献也是没有影响的。也就是说一个节点的贡献跟它的子树是没有关系的。

那么我们就意识到，一个节点只会在从自己到根节点的链上的一个节点被删除的时候才会被删除，而且只有它自己被选中删除这一种情况下，这个节点会对答案有贡献。而且进一步思考，在整棵树的状况一定时，这条链上的每个节点被选中的概率是相同的，那么一个节点被选中并删除的概率就必然是 \(\frac{1}{dep_x}\) ，那么也就是说 \(ans=\sum{\frac{1}{dep_x}}\)